WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

«УДК 519.622.2 SADEL – БИБЛИОТЕКА «СВЕРХТОЧНЫХ» РЕШАТЕЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МГТУ ИМЕНИ Н.Э.БАУМАНА Д.М. Жук, В.Б. Маничев, М.К. Сахаров E-MAIL: ...»

УДК 519.622.2

SADEL – БИБЛИОТЕКА «СВЕРХТОЧНЫХ» РЕШАТЕЛЕЙ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

МГТУ ИМЕНИ Н.Э.БАУМАНА

Д.М. Жук, В.Б. Маничев, М.К. Сахаров

E-MAIL: ZHUK@BMSTU.RU, MANICHEV@BMSTU.RU, MAX.SFN90@GMAIL.COM

Аннотация

Рассмотрены основы и принципы организации библиотеки SADEL на

языке Си для «сверхточных» (extra precision) вычислений при решении систем

алгебраических и дифференциальных уравнений. Приведены результаты сравнительного тестирования библиотеки.

Bases and principles of the organization of math library SADEL in C language for extra precision calculations for algebraic and differential equations solution are considered. Results of comparative testing of library are resulted.

Ключевые слова: Математическое моделирование, обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ), методы интегрирования, линейные алгебраические уравнения (ЛАУ).

I. Введение Библиотека SADEL (Sets of Algebraic and Differential Equations solvers Library – библиотека «сверхточных» (extra precision) решателей для систем алгебраических и дифференциальных уравнений предназначена для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в форме дифференциальноалгебраических уравнений (ДАУ) [1].

Для сверхжестких и сверх колебательных классов задач получаемое даже для номинальных значений параметров решение систем ОДУ с помощью известных математических программ иногда сильно отличается от корректного, достоверного и точного решения.



Сверхжесткими системами мы называем системы ОДУ со степенью жесткости более 10^6, которым соответствуют СЛАУ с числом обусловленности более 10^6, а сверх колебательными системами – системы ОДУ, которые моделируют колебательные системы с добротностью более 10^6. Главным недостатком вычислительных методов, используемых для анализа динамических процессов при проектировании и управлении и реализованных в лучших зарубежных программных системах, является возможная выдача ошибочных результатов компьютерных вычислений для вышеуказанных классов задач без предупреждения пользователей об их недостоверности. Разработка библиотеки SADEL направлена на устранение указанного недостатка [1,2].

II. Обоснование принципов разработки библиотеки SADEL Мы отказались от общепринятого приведения систем ОДУ к нормальной форме Коши, разрешенной относительно производных, отказались от явных методов интегрирования систем ОДУ - применяем только неявные методы интегрирования систем ОДУ, отказались от численных эквивалентных преобразований используем только символьные эквивалентные преобразования и перестановки строк и столбцов матриц коэффициентов при решении СЛАУ. В результате мы получаем только корректные, достоверные и точные результаты решения систем ДАУ и СЛАУ, включая сверхжесткие, сверх колебательные и плохо обусловленные.

Научно-исследовательские работы по численному решению систем ОДУДАУ мы выполняем с 80-х годов. В наших работах было показано, что для гарантии получения качественно корректного и достоверного решения систем ОДУ численный метод решения систем ОДУ должен быть AL-устойчивым, т.е.

абсолютно (A) устойчивыми строго в левой (Left) полуплоскости комплексной плоскости устойчивости методов численного решения систем ОДУ.

Программная реализация этих методов в конечном итоге сводится к многократному решению соответствующих СЛАУ на каждом шаге численного интегрирования, что, как правило, приводит к нескольким тысячам и более обращений к программе-решателю СЛАУ на всем заданном отрезке численного интегрирования.

AL-устойчивые методы 2-го и 4-го порядков точности были реализованы в программе DMAN [2]. Решение большого количества тестовых и практических задач математического моделирования динамических процессов технических систем и объектов с помощью этой программы показало, что для получения качественно корректного решения разнообразных систем ОДУ необходимо на всех шагах численного интегрирования обеспечить решение соответствующих тысяч разнообразных СЛАУ с гарантированной точностью в 15 верных значащих цифр для всех элементов вектора решений СЛАУ, т.е. с удвоенной точностью выполнения простых арифметических операций и элементарных математических функций для типа double представления вещественных чисел алгоритмического языка Си (именно с этой точностью вычисляются все элементы матриц коэффициентов этих тысяч разнообразных СЛАУ). Тестирование показало, что в известных программах-решателях СЛАУ эта задача не решена. Итерационные численные методы решения СЛАУ не решают эту проблему, т.к. не могут гарантировать указанную выше точность получаемых решений для всех элементов вектора решений СЛАУ [3]. Нам удалось решить эту проблему с помощью точных, прямых численных методов решения СЛАУ и методов получения «сверхточных» (extra precision) решений, реализованных в математических пакетах и библиотеках программ: Maple (метод Software Floating Point (SFP метод)), MATLAB (метод Variable Precision Arithmetic (VPA метод)), Mathematica (метод Arbitrary Precision Arithmetic (APA метод)), методы библиотеки Intel для "сверхточных" десятичных вы-числений (точность арифметических вычислений до 256 верных десятичных знаков IEEE 754-2008 Decimal Floating-Point for Intel® Architecture Processors) и др.

III. Результаты сравнительного тестирования решателей СЛАУ-ОДУ-ДАУ С помощью программ библиотеки SADEL удалось решить с вышеуказанной точностью ряд тестовых плохо обусловленных задач, которые не решаются с данной точностью другими известными решателями СЛАУ из соответствующих библиотек стандартных математических программ [1]. В качестве примера рассмотрим тестовую задачу с матрицей Гильберта (Hi ) 10-го порядка [4]: все элементы матрицы А и вектора В, как суммы соответствующих строк матрицы А, были вычислены с удвоенной точностью.

Абсолютно точное решение этой задачи – единичный вектор.

Результаты решения с удвоенной точностью на языке Си тестовой задачи с матрицей ) 10-го порядка:

Библиотека MAGMA (LAPACK-Linpack):

1.000000000464697 0.999999960244827 1.000000840984605 0.999992393461859 1.000036137385782 0.999900979283788 1.000162025520190 0.999843779478675 1.000081852296234 0.999982030574678 Курсивом выделены неверные значащие цифры в решении.

Соответствующие программы с полными матрицами из библиотеки SADEL получили единичный вектор для этой тестовой задачи с точностью в 15 верных значащих цифр.

Сравнение решателя систем ДАУ в библиотеке SADEL с аналогичными зарубежными решателями систем ОДУ проведено для параметров интегрирования решателей систем ОДУ, рекомендуемых для этих решателей по умолчанию. Все решатели систем ОДУ сравнивались при заданной относительной точности интегрирования 0.001 (в программном комплексе MATLAB это точность, задаваемая по умолчанию). В таблице приведены результаты сравнения только наиболее трудных для современных решателей ОДУ жестких систем ОДУ с многопериодным решением.

SADEL Mathcad MATLAB Mathematica Maple 2010 Метод Тесты\Решатели ОДУ 2007 Метод Метод Метод Метод BDF Rosenbrock M2,M3 Radau Ode15s ТЕСТ 1. Уравнения Ван дер Поля MU=106 + + + -

–  –  –

В таблице сравнивались только методы интегрирования соответствующих решателей систем ОДУ, рекомендуемые в соответствующих математических программных комплексах для решения жестких систем ОДУ.

Знак минус означает невозможность получения решения или (в большинстве случаев) качественно неверный результат без всякого предупреждения о возможных ошибках. При значительном увеличении жесткости и значений коэффициентов тестовых систем ОДУ из таблицы соответствующие решатели из сравниваемых программных комплексов дают неверный результат, как правило, без всякого сообщения об ошибке, при этом решатель SADEL дает правильное решение вплоть до максимально допустимой машинной точности.

IV. Заключение С помощью решателей библиотеки SADEL на обычном персональном компьютере (ОС Win32 XP; компилятор языка Си Visual Studio 2008, версия 9.0.210228) со стандартной удвоенной точностью (double precision) языка Си удалось решить плохо обусловленные СЛАУ с математической компьютерной машинной точностью. Известные программы на языке Си для решения СЛАУ на персональных компьютерах решают с гарантированной математической компьютерной машинной точностью только хорошо обусловленные СЛАУ (число обусловленности матрицы коэффициентов близко к 1 или значения диагональных элементов этой матрицы преобладают по абсолютной величине над недиагональными) и гарантируют не более 5-6 верных значащих цифр для всех элементов вектора решений плохо обусловленных СЛАУ.

Также удалось достоверно и точно решить ряд тестовых сверхжестких и сверх колебательных систем ОДУ, которые не решаются известными зарубежными решателями систем ОДУ-ДАУ [1].

Новые научные результаты предполагается получить в направлениях развития новых методов и алгоритмов решения систем ДАУ и СЛАУ сверхбольшой размерности с выполнением расчетов на универсальном и на персональном суперкомпьютерах.

Список литературы Андронов А.В., Жук Д.М., Кожевников Д.Ю., Маничев В.Б. Библиотека 1.

математических программ-решателей на языке Си: SADEL. // http://pa10.ru.

Д.М. Жук, В.Б. Маничев, А.О. Ильницкий Методы и алгоритмы решения 2.

дифференциально-алгебраических уравнений для моделирования систем и объектов во временной области. // Информационные технологии. - 2010. – часть1 - №7, часть 2 - №8.

В.Б.Маничев, В.Н.Глазкова, Д.Ю.Кожевников, Д.А.Кирьянов, 3.

М.К.Сахаров Решение систем линейных алгебраических уравнений с удвоенной точностью вычислений на языке Си. // Вестник МГТУ, сер. Приборостроение. Вып. 4.

Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа : учеб. пособие для студ.

4.

вузов / — М.: Издательский центр «Академия», 2007. — 320 с. — (Университетский учебник. Сер. Прикладная математика и информатика).

Похожие работы:

«Список сокращений и использованной литературы Автобиография – Л.А.Бруни. Краткая автобиография. Рукопись. ОР ГТГ. Ф.117. Ед.хр.81 Аксакова-Сиверс – Т.А.Аксакова-Сиверс. Семейная хроника. Кн.1. Paris, 1988 Андр...»

«Сазонова Л. В. Изучение типов речевого поведения матерей, воспитывающих детей младенческого возраста // Научно-методический электронный журнал "Концепт". – 2016. – № 4 (апрель). – 0,4 п. л. – URL: http://e-koncept.ru/2016/16075.htm. – ISSN 2304-120X. ART 16075 УДК 316.612 Сазонова Людмила Васил...»

«? f 6 А 1 'Ы ‘1Э №ш^ ШШШР1РСАТ. ЧЛЛ к А Ч Л Л Ь н Л и IMicOAW S О.В. Узорова, Е.А. Нефедова БОЛЬШОЙ СБОРНИК ДИКТАНТОВ ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ СПРАВтАМИ и ОБЪЯСНЕНИЯМИ ВСЕХ ТЕМ КУРСА НАЧАЛЬНОЙ ш т ы 1 ^ кл а с с ы АСТ" Астрель Москва ш ж Владимир УДК 372.8: 811.161.1 ББК 74.268.1 Рус У34 Узорова,...»

«Г О У В П О Р О С СИ Й СК О АР М ЯН С К И Й ( СЛ АВ ЯН С К И Й ) У Н И В Е РС И Т Е Т У Т В Е Р Ж Д АЮ : С о с т ав л ен а в соответствии с г о с у д ар с т в ен н ы м и т р еб о в ан и я м и к Ди р ек т о р и н ст и т у т а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ мин иму му с о д ер ж ан и я и ур о...»

«ДОРОЖКА БЕГОВАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ АТ-806 СОДЕРЖАНИЕ Информация по безопасности. Покомпонентный сборочный чертеж. Комплект инструментов.. 5-6 Спецификация деталей.. Инструкция по сборке.. Как сложить для хранения.. Как разложить для использования 9-10 Эксплуат...»

«Оборудование для молочной лаборатории рН-метр Knick Portamess® 911 pH рН-метр Knick является проникающим универсальным электродом предназначен для измерения кислотности молочных продуктов (молоко, творог, десерт, сметана, плавленый сыр и др.) Компактная конструкция. Удобное обслуживание. Разработанный сп...»

«ОБЗОР РЫНКА ОФИСНОЙ НЕДВИЖИМОСТИ КЛАССА А И В г. МОСКВЫ ЗА III КВАРТАЛ 2009 Г. Подготовлено Департаментом аналитики и консалтинга Компании "Новое Качество" по состоянию на 30 сентября 2009 года БРОКЕРИДЖ...»

«t ‘’ a Daria Mishchenko To cite this version: Daria Mishchenko. t ‘’. 2015. halshs-01112953 a HAL Id: halshs-01112953 https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01112953 Submitted on 4 Feb 2015 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte plu...»

«Ассоциация Автомобильных Школ Украины Ближайшая задача в Украине – это изменение системы обучения в автошколах и технологии приема экзаменов от лица государства. В Украине меняется вся система законодательно, и она должны соответствовать мировым и европейским...»

«Сидоров Сергей Александрович Новейшая энциклопедия рыбалки Предисловие Конечный результат каждой отдельной рыбалки определяется массой субъективных и объективных факторов, из которых на первое место выходит умение и опыт рыболо...»









 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.