WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 


Pages:   || 2 |

«В. Болотов В. Болотова Ю. Роньшин 4D ГЕОМЕТРИЯ В СИСТЕМЕ «ВЕКТОР» И СКРИПТАХ Владивосток Б 89 Б 180(03)-2007 Болотов В.П., Болотова В.П., Роньшин Ю.И. 4D геометрия в системе «Вектор» и скриптах. ...»

-- [ Страница 1 ] --

В. Болотов

В. Болотова

Ю. Роньшин

4D ГЕОМЕТРИЯ

В СИСТЕМЕ «ВЕКТОР» И СКРИПТАХ

Владивосток

Б 89

Б 180(03)-2007

Болотов В.П., Болотова В.П., Роньшин Ю.И.

4D геометрия в системе «Вектор» и скриптах. 2011, 200 с.

Авторами рассмотрены принципы построения изображений объектов многомерного пространства, решение позиционных и метрических задач и их практическое приложение. Изображение объектов многомерного пространства основана на методе разнесенных ортогональных и аксонометрических проекций. Для получения такого чертежа было впервые предложено параллельно разнести координатные гиперплоскости на отдельные трехмерные чертежи, а двумерные координатные плоскости – на отдельные три-шесть проекции, что делает чертеж привычным, без наложения проекций друг на друга, как это предлагается у других авторов.

Материал представлен на основе идей полученных авторами ранее и новых, полученных за последнее время. Особое значение авторы возлагают на теставтоматизированное обучение и контроль, скрипты и методы системы «Вектор», макропрограммирования, что усиливает усвоение знаний по классической начертательной геометрии изучаемых в вузах и дает возможность решать новые задачи в самых разных прикладных областях многопараметрического проектирования.

Электронный ресурс лекций, тест-карты обучения и контроля (в том числе и на английском языке), балльно-рейтинговая система для более чем десятка графических (и не графических) дисциплин, скрипты решения стандартных задач и программирование в системе «Вектор» даны на сайте http://vm.msun.ru.

© В. Болотов, дизайн, 2011 © Издательство Федеральный Дальневосточный университет, 2011 Предисловие. Управление формой Шаттла и «Бурана»

и других объектов в пространстве больших измерений Началось это с того, что в 70-х годах я попал в аспирантуру в Ленинград к Павлу Владимировичу Филипповичу изучать начертательную многомерного пространства. В то время было повальное увлечение левитацией. Руководил этим направлением д.т.н. Геннадий Александрович Сергеев. Он тогда издал уникальную книгу «Этюды многомерного мира» и патентовал биоплазмограф в основе которого заложены принципы геометрии объемной 4-мерной кардиоиды, как сакральной геометрической формы. С Сергеевым мне удалось познакомиться, что повлекло за собой множество неформальных встреч и разговоров о геометрии многомерного пространства и ее применения.

Не без его помощи родилась основа будущих моих кандидаткой и докторской диссертаций - гиперключевой метод проектирования поверхности типоучастка, в частности, геометрии облицовочных плит Шаттла и «Бурана» - метода более естественного, чем метод Кунса, на основе которого чаще всего проектируются их облицовочные плитки (потому они в Космосе и отваливались - известный факт, тот и другой прекратили полеты в Космос).

Тогда был разработанупрощенный вариант биоплазмаграфа специальный полимерный стимулятор с жидко-кристаллическим наполнением (есть патент на изобретение), который мог сохранять и передавать его хозяину - излучения сконцентрированные, например, экстрасенсом, картиной, иконой, пирамидой, сакральным местом, дольменом и т.д. А также как защитное устройство от отрицательной энергии Космоса и на Земле от людей с отрицательной энергией. Геннадий Александрович меня объявил своим преемником и наследником (неоднократно звонил моей жене и говорил об этом) своего научного наследия и, в частности, биоплазмографа, на что я просто отмахивался, не думая, что этим когда-то займусь с другим сатрапом в области фантомного моделирования Владленом Исидоровичем Богдановым.





С Сергеевым же наши взаимоотношения тогда охладились после того, когда я попытался «проверить его науку» через академических ученых (в частности, была организована у него дома встреча-беседа с ученым из Физтеха Геннадием Яшиным, воспитанного на классике, и естественно отрицавшего все эти паронормальные явления, псиполя и псиэнергии. Он нашел «тонкие места» в «научной кухне» Сергеева, чем его сильно обидел. У меня же начались защита кандидатской диссертации, хоздоговорные работы с солидными предприятиями закрытого типа. За мои разработки и их продолжение они дали миллион рублей - сумасшедшие тогда деньги, из которых с большим трудом за 10 лет освоить удалось 100 тысяч, правда, не без успеха: было получено пять медалей ВДНХ разных достоинств. Началось творческое сотрудничество с объединением «Молния» по проектированию поверхностей космического корабля «Буран» (через известного геометра д.т.н. Вадима Андреевича Осипова), отъезд во Владивосток, докторская диссертация, и наши контакты с Сергеевым прекратились.

Наследие Геннадия Сергеева – биоплазмограф в оригинале на сегодня исчез (нет и авторских копий), причем самим фантастическим образом (ФСБ или ЦРУ) - история достойна детективного романа.

Однако я помнил о тех научных достижениях; и вот судьба - уже через Владлена Исидоровича Богданова - другого сатрапа в этой области, работавшего в 70-80 годах в Ленинграде с Геннадием Сергеевым и Владимиром Ахутином (обучали дельфинов доставать мины, проектировали и делали протезы на основе фантомного управления и многое другое), мы продолжили это направление во Владивостоке в Морском университете. В.Богданов в области бионики и нейронных сетей, я же подходил к этому вопросу с другого стороны - сакральной геометрии и скрипт-программирования. Общая задача была связать электромагнитные, тепловые и другие поля человека с ПК в простые виртуальные модели (мини-тренажеры-скрипты) управления разумом, что было реализовано в области релаксации (восстановления) здоровья. В частности, человек, прошедший курс иглотерапии, пиявок и т.д., у нас в центре «Синергия» (кстати, биоплазмограф они по схемам Сергеева воспроизвели и успешно применяют), дальше продолжал сеансы «виртуальной иглотерапии» за компьютером, в сопровождении специально подобранной музыки, цвета и света и т.д. К сожалению Владлен Исидорович умер и дальнейшие работа в этом направлении прекратилась. Несколько лет «не работал» и сайт (под linux) со всеми наработками в области фантомной релаксации. Сейчас «Фантом-сайт» заработал и каждый может в Интернете по адресу http://vm.msun.ru/ попробовать свои био-энергетические способности управлять разумом, вплоть «бросить пить», «бросить курить», излечить себя или своих близких от различных вредных привычек или недугов. Положительные результаты есть.

Данная книга – это только надводная часть «айсберга», что сделано. А чтобы более глубже изучить 4D геометрию и ее применение, надо окунуться в эту проблему на сайте http://vm.msun.ru/, особенно в овладение системой «Вектор» как в режиме диалога, так и макропрограммирования на языках VBS и JS.

Болотов В.П.

Совместные статьи с В.И. Богдановым

1. Богданов В.И., Болотов В.П., Маренников В.П. Вычислитель для распознавания оптических изобретений. // Сборник трудов 1Х Международной Вавиловской конференции, Новосибирск 1997.

2. Богданов В.И., Болотов В.П., Седых Н.В. Разработка устройства для передачи и распознавания информации о состоянии оператора в режиме вахты одного человека // Сборник трудов ДВГМА, Владивосток 1996, 2005.

3. Богданов В.И., Болотов В.П. Спутниковый бортовой категоризатор состояния Мирового Океана. // Сборник трудов международной научно-технической конференции «Спутниковые системы связи и навигации», Красноярск 1997.

4. В.И. Богданов, В.П. Болотов, Я.Л. Виткалов, А.П. Пак. Идентификация по биометрическим признакам. Сборник трудов МГУ им.

адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2005. с. 171-190.

5. В.И. Седых, В.И. Богданов, В.П. Болотов. Формализация и решение оптимизационных задач динамического программирования в системе «Вектор». Сборник трудов МГУ им. адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2005. с. 119-124.

6. В.И. Богданов, В.П. Болотов. Фантомное управление протезом

- опыт практической реализации на бывших афганцах в 70-80 гг. 2006 (рукопись).

7. В.П. Болотов, В.И. Богданов. Фантомное релаксация в системе «Вектор» через произведения искусств и сакральные знаки (см.

скрипты: Код да Винчи и Фрески Микеланджело).

8. В.П. Болотов. Фантомное управление формой облицовочных плит Шаттла и Бурана (рукопись).

Монографии по теме книги

1. Начертательная геометрия многомерного пространства. 400 с., 1985, ДВГМА, 400с.

2. Болотов В.П. Геометрия в САПР. МГУ им. адм.

Г.И.Невельского, Владивосток, 2005. 368 с.

3. Седых В.И., Болотов В.П., Роньшин Ю.И. «Вектор»: диалог и методы. МГУ им. адм. Г.И.Невельского. Владивосток, 2005. 268 с.

4. Болотов В.П., Болотова В.П. Начертательная геометрия пространства Е4. Тест-автоматизированное обучение и контроль. МГУ им. адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2010. 128 с.

–  –  –

Многие основополагающие положения начертательной геометрии пространства Е3 справедливы и для Е4.

Теорема Польке. Любые четыре прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси.

–  –  –

Отрезки произвольной длины на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов пространства E4.

Координатная ломаная построения точки Рис. 2. Координатная ломаная построения точки в Е4.

Справа рисунок с помощью макрокоманды (МК) получен в системе «Вектор»

При изображении точку, фигуру относим к системе Oxyzt осей координат пространства Е4. Эту систему координат называют натуральной. На рис 2 построена координатная ломаная O-Ax-Axy-AxyzAxyxt для произвольной точки A. Длины координатных отрезков O-Ax, Ax-Axy, Axy-Axyz, Axyz-Axyxt являются координатами х, у, z, t точки А.

В Е4 есть понятия которые не совместимы в Е3. Например, две плоскости в 4-мерном пространстве в общем случае пересекаются в точке. Это понятие хорошо видно на изображение координатных осей и образованных ими координатных плоскостей.

Рис.3. Две плоскости пересекаются в точке

Сколько случаев возможны пересечения координатных плоскостей в точке? По прямой?

Другой необычный для 3-мерного пространства пример:

К плоскости в точке можно провести два взаимно перпендикулярных перпендикуляра.

Это опять хорошо видно на координатных осях. Например оси Ox и Oz, будучи перпендикулярными между собой, перпендикулярны (причем каждая по отдельности) плоскости yOt. Таким образом, к плоскости можно провести множество перпендикуляров, проходящих через одну точку (точку пересечения 2- плоскостей).

Полезным методом исследования пространства Е4 является метод сравнения: как получаются те или иные фигуры из пространства Е2 в Е3, и что пари этом мы видим, и что не видим.

ё Рис. 4 Метод сравнения в Е2, Е3 и Е4 Слева два рисунка показывают, что видит 2-мерное существо в плоскости и 3-мерное, глядя на эту плоскость уже с о стороны на эту фигуру.

Справа показано: что видит 4-мерное существо глядя на закрытый для нас - трехмерных существ - 3-мерный куб.

Комплексный чертеж пространства Е4 – это шесть координатных плоскостей, расположенных в принципе как угодно. Обычно так, чтобы было удобно строить проекции по линиям связи.

Рис.5. Комплексный чертеж (эпюр) точки, прямой в Е4

И здесь возникают интересные моменты:

Прямая может проецироваться в точку сразу на три координатные плоскости.

Плоскость, в свою очередь, в 4-мерном пространстве, может проецироваться в точку на одну из координатных плоскостей проекций.

Трехмерные объекты, например, куб, конус, шар (соответственно и сфера) и т.д. могут проецироваться (вырождаться) в прямую линию.

Прямая и гиперплоскость (например, тетраэдр, куб, сфера, - они, как и, например 4 точки, не лежащие на прямой и плоскости, определяют гиперплоскость) могут пересекаться в точке.

В 4-мерном мире есть много и «житейских» особенностей: правую перчатку можно совместить с левой не выворачивая их. Увидеть внутренность человека, не делая операций, выйти из замкнутого 3мерного пространства, или, как говорит Елена Блаватская: «…не увидеть руку Кэти Кинг, которая исчезает в «неизвестном пространстве»;

развязываем ли мы узлы на веревке, оба конца которой скручены и склеены». А случаев, будто исчез человек в каком-то месте, а потом вернулся в другое месте и в другое время (раньше или позже), в истории человечества не счесть.

Часто 4-мерному пространству в качестве 4-й координаты приписывают время. Может быть два случая.

1) Параметр время в нашем пространстве. В этом случае объект изменяется (стареет и прочее), и никакого отношение к Е4 не имеет.

2) Если же время взять в качестве 4-й координаты в Е4, то объект в ту же секунду исчезнет из нашего пространства, как только оно будет применимо. Такое возможно происходит с душей в тот момент, когда человек умирает или с душой и телом, когда они «на некоторое время» исчезают в другом 3-мерном пространстве Е4 (тело может находиться только в подобном 3-мерном пространстве).

Для исследования геометрических фигур в 4-мерном пространстве используется авторская система «Вектор» 3D векторного моделирования, правда, для 4D моделировании требуются небольшие дополнительные построения. Набор методов и возможность программировать (писать макрокоманды на языках.vbs, и.js) облегчает решения таких задач. А сайте приведены скрипты и упражнения с листингами как это делается.

И все же, если время взять в качестве 4-координаты, то геометрические фигуры задаются как бы 4-мерные, но в нашем пространстве.

На чертеже время как 4-я координата и время как параметр совпадают. Например, есть такое определение кривой линии как параметрической движение точки по тому или иному закону. Для прямой линии это линейный закон. Или, например, если точка движется по вектору отрезка, то ее движение будет в одномерном пространстве, если по вектору вне отрезка – двумерное, по вектору вне плоскости – 3мерное, вектору вне 3-мерного пространства – 4-мерное и т.д. Аналогично Получается что на отрезке (одномерном пространстве) точка (нульмерный отрезок) при своем движении (2-я координата - время) будет двумерной. Аналогично при одномерны отрезок при движении на двумерной плоскости, становится двумерным и т.д. Получается, что мы моделируем объект большей размерности, чем его носитель и это реальный объект. Так задавая параметрическое движение поверхности мы получаем объект – тело. На этом принципе и построены вариант задания тел в системе «Вектор». Здесь геометрия 4-мерного пространства выступает непосредственно как инструмент задания геометрических форм в нашем пространстве. Получая тело, группу тел в системе «Вектор» с помощью методов легко вычисляется площадь, объем, центр тяжести и прочие характеристики, необходимые при проектировании.

В. Болотов «Истина сама по себе имеет значение без каких-либо вопросов о прямой пользе»

Дмитрий Менделеев Начертательная геометрия 4-мерного пространства Тема 1. Метод гиперпроекций Начертательная геометрия занимается изображением пространств и геометрических объектов на плоскость и решением позиционных и метрических задач. В основе изображения пространств – принята декартовая система координат.

Декартовая система координат как модель любого пространства При изображении таких моделей применимо следующее определение Монжа для 3-мерного пространства: Любые три отрезка проведенные через одну точку (начало системы) могут быть приняты за декартовые оси. На плоскости декартовая система координат – это два взаимно перпендикулярных отрезка, которые без труда изображаются как оно есть. Также можно провести три отрезка – для 3-мерного пространства; четыре для 4-мерного и т.д.. В этом случае все отрезки (оси) невозможно провести перпендикулярно к друг другу, как это должно быть, потому их проводят произвольно, как это выгодно, вплоть до того, что некоторые отрезки (оси) вырождаются на некоторых чертежах в точку.

Рис. 1. Декартовые системы координат 2-мерного, 3-мерного и 4-мерного пространств В основе отображения геометрических объектов лежит метод проекций: путем проецирования ее точек на плоскость. И обратная задача: по проекциям восстановления оригинал объекта.

Для отображения на плоскость лежат методы центрального и параллельного ортогонального и косоугольного проецирования. Эти свойства справедливы и для 4-мерного пространства. Однако больший интерес представляет восстановление оригинала по его проекциям. Здесь интерес представляет рассмотрение восстановления не самого оригинала, и проекций (оригиналов) в двух 3-мерных перпендикулярных друг к другу подпространств xyz и xzt. Здесь оказывается к плоскости xy в одну точку можно провести два перпендикуляра, и соответственно обратно: из одной точки можно восстановить два перпендикуляра. В этом случае можно говорить о двойном центральном и параллельном проецировании. Будем рассматривать параллельно в нашем 3-мерно пространстве и 4-мерном.

1.1 Центральное и параллельное проецирование в 4-мерном пространстве xyzt Все определения будут действительны из предыдущего параграфа, за исключением того, что все будет двойное, хотя сама проекция точки (объекта) - одна.

Центрами проекций точки Axy в 4-мерном пространстве Oxyzt являются точки Axyz и Axyt Здесь тоже как бы идет ортогональное проецирование, но уже из 2-х подпространств. В дальнейшем будем рассматривать ортогональное проецирование и ортогональное воспроецирование (обратно к проецированию).

* Название геометрических объектов в 4-мерном пространстве, не всегда одинаково. Однако принадлежность того или иного объекта к объектам в привязке к осям является истинным.

1.2. Основные свойства параллельного проецирования 4мерного пространства В 4-мерном пространстве свойства: однозначности, прямолинейности, принадлежности, параллельности, пропорциональности, конгруэнтности, параллельного переноса, сохраняются. Однако, когда эти свойства начинаем применять на комплексном чертеже, часто надо говорить «дважды». Например, прямая параллельно плоскости и естественно проецируется на нее в натуральную величину в том случае, если она дважды параллельна ей.

Также и прямой угол проецируется в натуральную величину. если его одна из сторон дважды параллельна плоскости проекций.

Проецирование прямого угла на плоскость в 4-мерно пространстве Для того чтобы получить чертеж, обладающий свойствами обратимости, необходимо иметь, по крайней мере две связанные между собой проекции в двух 3-мерных координатных плоскостях. На ортогональном чертеже, по крайней мере три (из шести) связанные между собой проекции

1.3. Пространственная модель (макет) 4-мерного пространства Для фиксирования положения геометрической фигуры в 4мерном пространстве и выявления ее формы по ортогональным проекциям используется прямоугольная (декартова) система координат, состоящая из 4-х взаимно-перпендикулярных гиперплоскостей и шести координатных плоскостей (рис. 1.5).

Ось x — ось абсцисс, y — ось ординат, z — ось аппликат, t – ось гипераппликат. т.O — начало координат.

Координатные плоскости делят пространство на шестнадцать частей — гипероктантов. Плоскости xy (Н), xz (V), yz (W) пусть также называются горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями проекций. Плоскость xt – гиперфронтальная, yt – гиперпрофильная, zt – вторая гиперпрофильная.

Положение т. А определяется четырьмя координатами: x, y, z, t (ширина, глубина, высота и гипервысота),.

Точки А, А, А — горизонтальная, фронтальная, профильная — ортогональные проекции точки. Точки А’’’’ – гиперфронтальная, А’’’’’ – гиперпрофильная, А’’’’’’ (c шестью штрихами) – 2-я гиперпрофильная проекция точки.

Пространственных модель может быть как в 4-мерном пространстве так и четыре 3-х трехмерных подпространств, которые можно располагать как угодно.

–  –  –

Проведем аналогию от 3-мерного пространства к 4-мерному.

В 3-мероном пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости вместе с положительными и отрицательными значениями осей образует восемь октантов Восемь октантов образуют восемь «смежных комнат» в трехмерном пространстве, что в свою очередь куб, в котором находятся 8 комнат; это к тому, как образуется гиперкуб из 16 смежных комнат в 4-мерном пространстве. Каждая комната по отдельности при этом будет иметь 3 измерения.

Гипер-октанты (обычные наши комнаты), образуемые на положительных и отрицательных направлениях осей x,y,z,t.

Куб и гиперкуб можно построить и на положительных направлениях осей.

Чтобы «закрыть» куб, у которого три грани лежат в координатных плоскостях, надо каждую сдублировать и сдвинуть в том или направлении той или иной оси на высоту куба. В итоге для куба получим 6 граней.

Чтобы «закрыть» гиперкуб, у которого 6 граней лежат в координатных плоскостях, надо каждую двумерную грань сдублировать и сдвинуть по 4-м направлениям. В итоге для гиперкуба получим 24 двумерных граней, 16 вершин, 32 ребра.

Из каждой вершины выходить 4-ре ребра: ширина, высота, толщина и 4-й размер по t. Увидеть пространство между такими гранями в 3-мерном пространстве (в частности, смоделировать и на плоскости) довольно сложно, подобно тому, что двумерный человек на линии не может увидеть и изобразить 3-мерный куб.

Объем гиперкуба равен: V = x*y*z*t.

Разнесенный аксонометрический чертеж 4-х координатных гиперплоскостей Комплексный чертеж координатных трехмерных подпространств (координатных гиперплоскостей) 4-мерного пространства

1.4. Комплексный чертеж (эпюр) точки в 4-мерном пространстве Плоскостная модель получается путем совмещения всех шести координатных плоскостей с плоскостью листа.

Рис. Комплексная плоскостная модель 4-мерного пространства Изображение точки на такой модели будет называться комплексным чертежом (эпюром) точки 4-мерного пространства.

Каждая проекция точки определяется двумя координатами A(x, y); А(x, z); А(y, z), А(x,t), А (y,t), А(z,t).

Три проекции точки определяют четыре координаты точки. В этом случае говорят, точка задана.

Отсюда:

1) положение точки в 4-мерном пространстве вполне определяется тремя проекциями;

2) по любым трем проекциям точки можно построить остальные ее проекции.

Точка может занимать различные положения — лежать в любом гипероктанте, в любой координатной гиперплоскости и на любой координатнойплоскости. Проекционная связь позволяет графически находить третью проекцию точки по трем заданным При этом необходимо помнить, что A(x, y); А(x, z); А (x, z), А (x, t) – соединяются вертикальной линией.

A (x, t); А (y, t); А (z, t), – лежат на горизонтальной линии связи.

На горизонтальной линии связи лежат и проекции А(x, z) и А (y, z).

* Гиперплоскость — подпространство евклидова с размерностью на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Приложение 1. Двумерный мир и моделирование в нем 2-3-4-мерных пространств

Для того чтобы представить взаимосвязь 4-мерного мира и 3мерного, достаточно рассмотреть взаимосвязь 3-мерного и 2 мерного по принципу аналогии. Представьте гипотетического жителя 2мерного мира. Что видит этот житель, как бы он не ходил вокруг круга, квадрата он видит в простом случае линию. Если же квадрат прозрачен и ребра у него, имеют разные цвета, он в перспективе отличит квадрат от треугольника, но все ребра на «планшете-бумаге» (в виде прямой линии) будут лежать на одной вертикальной линии. Это жителям 3-мерного мира видны - круг, квадрат, жителя и все его внутренности.

И все же как бы смоделировал свое 2-мерное, а затем 3-мерное и 4 мерное пространства?

Он знает уже, что две взаимно-перпендикулярные прямые моделирует его мир.; может быть параллельное и перспективное проецирование. Ортогонально можно проецировать точки пространства на оси x и y. Все как у нас, только вот вместо листа бумаги у него отрезок прямой линии, и всякие ухищрения: применять цвет, прозрачность линий и т.д. Сделать надпись и тут проблема. Мы же воспользуемся свойствами плоскости и все надписи будем делать на ней.

a) b) c) d) e) f)

–  –  –

a) аксонометрия b) орт-чертеж 2-d пространства,

c) аксонометрия d), e) - орт-чертеж 3-d пространства

f) орт-чертеж 4-d пространства.

На первом рисунке «изображены» две взаимно перпендикулярные прямые, моделирующие двумерный мир. Ось Ох можно повернуть до совмещения с фронтальной ось Оy, в результате чего получим плоский чертеж двумерного пространства. На этом чертеже по осям можно откладывать натуральные величины координат x и y.

Двумерное существо додумалось, что где-то существует 3мерный мир, модель которого три взаимно-перпендикулярные прямые, в свою очередь. По теореме Монжа он бы определил: любые три отрезка, выходящие из одной точки, будут аксонометрическими осями трехмерное пространства. Соответственно со своими коэффициентами искажения. Пользоваться математикой 2-мерному существу не запрещено. Он понимает, что ось Оz, перпендикулярна его плоскости, но просто ограниченность возможностей отображения 3-мерного пространства на прямую линию декартовой модели 3-мерного пространства, заставляет идти его на такие ухищрения. Однако, хотя бы оси Оx, Оу, Оz изображались без искажения у него есть такая возможность. Он строит дважды, а если надо трижды ортогональные проекции трех координатных плоскостей 3-мерного пространства на своей плоскости проекций -отрезке.

Чтобы смоделировать 4-мерное пространство, ему нужно отобразить 4 плоскости (минимально) (рис. пр1, f) или все 6.

Как житель 2-мерного пространства изобразит куб, в своем 2мерном пространстве? «Квадрат в квадрате», но это явно не так – мы про это знаем. Ему надо поверить, что есть геометрический объект куб, и согласиться, что изображать он его может только совокупностью 2-мерных (на координатных плоскостях) объектов.

Как житель 2-мерного пространства изобразит куб, в своем 2мерном пространстве? «Квадрат в квадрате», но мы знаем., что это не так. Ему надо поверить, что есть геометрический объект - куб, и согласиться, что изображать он его может только совокупностью 2мерных (на координатных плоскостях) объектов.

Также и гиперкуб сложно изобразить на плоскости. Хотя по отношению к двумерному жителю, у нас есть плоскость проекций и тут мы можем уже что-то «увидеть». Например, гиперкуб имеет 12 граней. А вот «увидеть» 4-мерное пространство, ограниченное 8-ю гиперплоскостями практически невозможно.

Тема 2. Точка Точка - одно из основных понятий геометрии.

В математике точкой называют элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства (например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из nчисел).

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Построить точку по ее координатам на наглядном аксонометрическом чертеже, полученным по теореме Польке довольно легко: достаточно отложить по осям или им параллельным соответствующие отрезки.

Рис. 2.1. Точка полученная по ее координатам на аксонометрическом чертеже в 3-мерном и 4-мерном пространствах Точка в ортогональной системе проекций декартовой системе координат есть ее проекции (перпендикуляры), опущенного из данной точки на эту плоскость. Можно говорить и обратном построении точки по ее координатам (x,y,z,t) в ортогональной системе декартовой системе координат.

Рис. 2.2. Точка в системе 3-х плоскостей проекций Три проекции вполне определяет все ее четыре координаты. Однако вполне логично и часто это просто необходимо геометрические объекты надо рассматривать на всех ее шести координатных плоскостях.

<

–  –  –

Изображение точки на такой модели будет называться комплексным чертежом (эпюром) точки 4-мерного пространства. Показаны и как стоятся те или иные проекции.

Каждая проекция точки определяется двумя координатами A(x, y); А(x, z); А(y, z), А(x,t), А (y,t), А(z,t). Три проекции точки определяют четыре координаты точки. В этом случае говорят, точка задана.

Отсюда:

1) положение точки в 4-мерном пространстве вполне определяется тремя проекциями;

2) по любым трем проекциям точки можно построить остальные ее проекции.

Точка может занимать различные положения — лежать в любом гипероктанте, в любой координатной гиперплоскости и на любой координатнойплоскости. Проекционная связь позволяет графически находить третью проекцию точки по трем заданным При этом необходимо помнить, что A(x, y); А(x, z); А (x, t) – соединяются вертикальной линией.

A (x, t); А (y, t); А (z, t), – лежат на горизонтальной линии связи.

На горизонтальной линии связи лежат и проекции А(x, z) и А (y, z).

Для наглядности часто точки будем обозначать с индексами координат той плоскости, в которой проекция точки находится.

Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY, или OXZ. Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала. На этом определении проекции точки можно изобразить на 4-х координатных гиперплоскостях 4мерного пространства. Причем их можно расположить как угодно.

Рис. 2.4. Аксонометрические проекции гиперплоскостей и точки в них 4-мерного пространства Точка 4-мерного пространства может находиться (лежать) как в самом пространстве (у нее все 4-ре координаты имеют вещественные числа), так и в координатных плоскостях (одна из координат будет равно нулю), в координатных плоскостях (две координаты равны нулю), на координатных осях (три координаты равны нулю).

Рассмотрим два варианты. Гора Кайлас находится в нашем пространстве. Гора Меру, с тем же основанием (условно примем - круг), что у Кайласа в подпространстве xyt 4-мерного пространства xyzt.

Рис. 2.5. Вершины гор Кайлас и Меру Две проекции точки в два координатные подпространства вполне определяют точку (задают все 4-ре координаты). По этим проекциям можно построить и точку-оригинал в 40мерном пространстве. Эта новая точка – может определять еще одну гору – Сумеру (иногда называют Шумеру) в 4-мерном пространстве. Все эти три горы будут иметь одно плоское основание, причемвсе они трехмерные. Есть конус и 4-мерный – у него в сечение шар.

Изобразим вершины гор Кайлас и Меру на ортогональном чертеже-эпюре.

Рис. 2.6. M(x,y,z=0,t) - вершина горы Меру.

K(x,y,z,t=0) - вершина горы Кайлас Рис. 2.7. Совмещенный чертеж проекций вершин Кайлас и Меру Интересно видеть как будут изображена гора Сумеру (вершина S) с её проекциями гор Кайлас и Меру. На одну из координатных плоскостей она проецируется в прямую линию. Это достигается за счет того, что основание у этого конуса плоское - дважды-горизонтальное, которая проецируется на вторую профильную координатную плоскость в точку.

–  –  –

Точки К и М – это вершины гор Кайлас и Меру и в подпространства xyz и xyt.

Вычислим расстояние между вершинами гор Меру и Кайлас, если известно, что высота горы Кайлас 6666 метров, а меру 9999 метров. В расчете фигурирую только координаты высот Кайлас - z и Мере - t (x и y равны нулю).

H = sqr (6666*6666+9999*9999) = 12017.30240112.

Кстати, высота горы Сумеру будет такая же.

Не менее интересно посмотреть на гору Белуха и ее собратьев Белу (в xyt) и Субелу из 4-мерного пространства. Высота Белу – как эталон космической связи равна 9999 метров. Отсюда высота Субелу равно - без малого 11 000 метров. Известно, что Белу в пространстве xyt не конус, а прямой параллелепипед.

Рис. Белуха (обозначена буквой К) и Белу (М) задана проекциями: справа на xyz и xyt; слева на координатных плоскостях.

Упражнение 1. Достройте этот объект в аксонометрии xyzt: по двум проекциям (рис. слева. Исходите из того что вершина у Субелу имеет все 4-ре координаты (x,y,z,t), параллелепипед координаты z не имеет.

Упражнение 2. Постройте тоже самое, только у горы Белу верхняя часть пирамида.

Приложение 2.1. Двумерный мир и моделирование в нем точки в 2-х, 3-х и 4-мерных пространствах.

В приложение к 1-лекции декартовые системы координат представлены в виде координатных плоскостей. Значит на них можно задать и точки и даже увидеть (облететь) проекции гор Кайлас, Меру и Сумеру, правда, последовательно сначала по главным проекциям, а потом дополнительным.

Приложение 2.2. Что такое 4-мерное пространство математически?

Берем плоскость и в ней два независимых вектора. К этим двум можно добавить еще два вектора, не лежащие в плоскости. Все 4 вектора будут линейно независимы. Получаем 2 перпендикуляра к плоскости. Это трудно представить, но еще, что удивительно, что эти две плоскости будут пересекаться в точке.

Приложение 2.3. О многомерном пространстве с позиций математики.

Считается: размерность пространства это количество линейно-независимых векторов или количества независимых плоскостей вращения.

Можно найти многообразие с известной локальной размерностью и поместить его без самопересечений в пространство. Теорема Уитни гласит, что любое многообразие размерности n можно вложить без самопересечений в пространство размерности 2n+1.

Шнурок - связанный в кольцо с узлом - не помещается в лист бумаги без самопересечений. А в наше пространство - помещается. Поэтому у нашего пространства размерность как минимум 2*1+1=3.

«Если возьмем лист Мёбиуса или риманову поверхность sqrt(z) – которые локально являются двумерными, то в наше пространство без самопересечений не вмещаются, а в 5-ти мерное» – кто-то привел пример на каком-то форуме. Тут же продолжение: лист Мебиуса вложенный в трехмерное пространство, если будет погружен в двухмерное даст круг, без самопересечений. Вот почему Уитни не применимо к листу Мебиуса. Погружая его в двухмерное пространство (вы можете представить поверхность воды, в которую вы погружаете лист Мебиуса. Линия, которая можно провести по границе воды и листа будет представлять собой погруженный в двухмерное пространства лист Мебиуса) мы не получаем самопересечений. А бутылка Клейна (правильнее поверхность) погружена в трехмерное пространство, но вложена в 4-мерное.

Или вот еще гипотеза Пуанкаре, доказанная недавно гением нашего времени Григорием Перельманом звучит так: всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Это означает следующее: существует две «хорошие» двумерные поверхности: сфера и тор.

И существует только одна «хорошая» трехмерная поверхность:

сфера и трехмерный тор неодносвязаны. И таких проблем в математике много. В начертательной геометрии многомерного пространства проще.

Когда Пуанкаре обратился к 4-мерной геометрии он сумел проанализировал преобразования Лоренца и заметил, что они по форме совпадают с преобразованиями поворота в 4-мерном пространстве, в котором одна ось мнимая.

Вопросы:

- Может ли трехмерный шар оказаться сечением гипер-конического конуса?

- Да может, если конус 4-мерный (поверхность и него трехмерная.

Шар будет получаться, если сечение перпендикулярно оси. В других случаях, в зависимости от секущей гиперплоскости будут трехмерные эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды и даже пирамида (если секущая гиперплоскость пройдет через вершину конуса).

Тема 3. Прямая и преобразование ее в проецирующее положение

1. Задание прямой.

Отрезок, две точки определяют прямую линию.

Рис. Задание прямой на аксонометрическом чертеже в E3 и E4 Определены оригиналы пространства и их вторичные проекции.

Проекции к оригиналу не относятся, они только помогают строить оригинал.

Упражнение. Определить координаты точек начала и конца отрезка АВ, заданного в Е4.

Решение: A(0,0, a,0), В(0,0,0,b)

Прямые уровня Прямая параллельная координатной гиперплоскости проекций в том случае, если у нее равны по одной соответствующий координате.

Прямая дважды уровня Прямая параллельная координатной плоскости проекций в том случае, если у нее равны две соответствующие координаты 2- точек этой прямой. На чертеже такая прямая, является и проецирующей на одну их координатных плоскостей.

Рис. 3.1. Прямая дважды горизонталь и проецирующая на zt Проецирующие прямые Прямая перпендикулярна координатной гиперплоскости, если у нее три соответствующие координаты двух ее точек совпадают на соответствующую гиперплоскость. К той гиперплоскости, которой прямая перпендикулярна на всех ее координатных плоскостях проекцией прямой будет точка.

Рис. 3.2. Прямая перпендикулярна координатной гиперплоскости xyz Она трижды проецируется в точку.

Прямая перпендикулярна координатной плоскости, если у неё две соответствующие координаты двух ее точек совпадают на эту плоскость.

Рис. 3.3. Прямая перпендикулярна координатной плоскости xy Точка на профильной прямой Рис. 3.4. Точка на профильной прямая (она же горизонтально проецирующая прямая) Прямой угол проецируется в натуральную величину (н.в.), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Вторая сторона может занимать общее положение, или быть параллельной плоскости.

–  –  –

Прямая перпендикулярна к проецирующей на гиперплоскость прямой в том случае, если она параллельно этой гиперплоскости (координаты всех ее точек равна).

–  –  –

Может ли прямой угол проецироваться в натуральную величину, если одна из сторон является проецирующей на плоскость (например, на xy рис. 3.3), а вторая сторона дважды уровня к этой плоскости?

Решение может быть двояким:

1) Взять точку на прямой (рис. 3.4) и из нее восстановить перпендикуляр так, чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину.

Рис. 3.7 Если на координатных плоскостях имеем дважды проецирующие положение прямого угла, то между ними прямой угол и в пространстве.

2) Из произвольной точки опустить перпендикуляр на проецирующую прямую к координатной плоскости.

Рис. 3.8.

Перпендикуляр из точки К к прямой CB Опустить перпендикуляр из заданной точки к прямой общего положения можно по алгоритму:

из заданной точки на прямую построить перпендикулярную гиперплоскость, которая пересечет заданную гиперплоскость в точке, которая и будет искомой.

Решить такую задачу не просто в 3-мерном пространстве, тем более в 4-мерном. Однако есть довольно простые способы - методы преобразования проекций.

Преобразование прямой общего положения в частные методом вращения, плоскопараллельного перемещения и заменой плоскостей проекций.

–  –  –

Рис.3.10. Преобразование прямой общего положения в дважды проецирующую прямую Рис.3.11. Преобразование прямой общего положения в дважды проецирующую по минимально изначально заданному числу проекций Вопрос. На кокой еще координатной плоскости преобразованная прямая будет проецироваться в точку.

Преобразование прямой в дважды положение уровня методом вращения.

Рис.3.12. Преобразование прямой общего положения в дважды положение уровня.

Вопрос. На какую координатную плоскость преобразованная прямая будет проецироваться в точку?

Тема 4. Плоскость частного и общего положений Плоскость может быть задана двумя векторами исходящих из одной точки, двумя пересекающими прямыми, точкой и прямой, треугольником и т.

д.

Плоскости частного положения Рис. 4.1. Плоскость горизонтально проецирующая в точку Плоскость, проходящая через перпендикуляр к гиперплоскости, проецируется на эту плоскость в прямую линию. На всех координатных плоскостях ее проекциями будет прямые линии.

Рис. 4.2. Плоскость проецирующая в на гиперплоскость xyz

–  –  –

Рис.4.5. xyz-проецирующие плоскости:

слева плоскость также параллельна координатной плоскости xt Вопрос. На какую координатную плоскость спроецирована плоскость Q в натуральную величину?

Плоскости уровня Рис.4.6. Плоскость заданная двумя пересекающими перпендикулярами Вопрос. Какой гиперплоскости заданная плоскость параллельна?

–  –  –

На рис. 4.7, справа в плоскости задана прямая h, параллельная горизонтальной гиперплоскости. Если эту прямую сделать сначала дважды уровня, а потом проецирующей, то плоскость сама станет проецирующей, а после того как станет проецирующей, можно определить ее натуральную величину – ее надо дважды сделать параллельной (см. рис. 4.9).

<

–  –  –

Вопрос. Какой координатной плоскости плоскость стала проецирующей. Ответ – xzt.

Плоскость проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций дважды.

Рис. 4.9. Справа плоскость приведена в проецирующее положение Рис. 4.10. Натуральная величина треугольника.

Для таких уже сложных преобразование нужно написать схему преобразования. Тогда будет все ясно.

Выше преобразование будет:

Метод плоско-параллельного перемещений и вращения Рис. 4.11. Преобразование плоскости в положение уровня Вопрос. Кокой координатной плоскости, плоскость ABC стала перпендикулярной Натуральные величины методом замены (рис. 4.10) и методом вращения (рис. 4.11) - не одинаковые, методом замены задача решена неправильно: не задана горизонталь в xyz.

Рис. 4.12 В плоскости через точку можно провести две линии (и даже три и четыре) уровня координатным гиперплоскостям. В данном случае h1 параллельна xyz, h2 - параллельна xyt.

Вопрос. Отсутствующие линии уровня, каким гиперплоскостям будут параллельны?

Упражнение 1. В данной плоскости линии ската? В трехмерном пространстве линия ската в плоскости - это прямая перпендикулярная горизонтали этой плоскости.

В нашем случае две горизонтали. Получается, что в плоскости из точки А можно провести две линии ската: по одной «покатишься» в наше пространства xyz, по другой - в xyt.

В 4-мерном пространстве к плоскости можно построить два перпендикуляра (вспомните, к плоскости xy перпендикулярны сразу оси z и t), которые образуют плоскость перпендикулярную заданной плоскости в которой будет множество из заданной точки.

Упражнение 2. Из заданной точки А к плоскости Q провести два перпендикуляра.

Рис. 4.13 На рис. справа проведены два перпендикуляра к плоскости фронтально и xt-фронтально проецирующей плоскости. Справа на рис. дан перпендикуляр к плоскости и истинное наикратчайшее расстояние от точки до плоскости.

И все же как найти тот перпендикуляр который будет наикратчайшим от точки до плоскости?

Резюме. Многие позиционные и метрические задачи в 4-мерном пространстве удобнее решать методами преобразования в частные положения.

Тема 5. Гиперплоскость

Гиперплоскость — подпространство евклидова или аффинного пространства коразмерности 1, то есть с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая, для трёхмерного — плоскость и т. д.

Уравнение гиперплоскости.

Пусть — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку, имеет вид:

Здесь — скалярное произведение в пространстве. В частном случае уравнение принимает вид Расстояние от точки до гиперплоскости. Пусть — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки до этой гиперплоскости даётся формулой где — произвольная точка гиперплоскости.

Однако математика математикой, нас же интересует графическое представление гиперплоскости.

Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, однозначно гиперплоскость этого пространства. Гиперплоскость также однозначно определяется двумя скрещивающимися прямыми. Проекции скрещивающихся прямых (рис.2.4.1) на аксонометрическом и ортогональном чертежах могут быть расположены как угодно, но отличаться от расположения проекций пересекающихся и параллельных прямых.

Пусть на ортогональном чертеже (рис.2.4.2) гиперплоскость ABCD задана четырьмя точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости, эта гиперплоскость пересекается с координатными гиперплоскостями по плоскостям, которые будем называть следами гиперплоскости на координатных гиперплоскостях.

Рис. 2.4.2 С координатными плоскостями гиперплоскость ABCD пересекается по прямым.

Такие прямые будем называть следами гиперплоскости на координатных плоскостях.

На рис.2.4.4 показаны следы гиперплоскости ABCD в косоугольной изометрической проекции при показателях искажения по осям, равных 0,5.

Как известно, уравнение гиперплоскости четырехмерного пространства при принятых обозначениях координатных осей имеет вид:

–  –  –

(2.4.2) которое называется уравнением гиперплоскости относительно отрезков, отсекаемых ею на осях координат, так как числа a, b, c и d выражают такие отрезки. Следовательно, между уравнением гиперплоскости (2.4.1) и (2.4.2) и изображением ее следов на ортогональном и аксонометрическом чертежах устанавливается непосредственная связь, ибо названные величины в уравнении (2.4.2) являются числовым выражением параметров OPx, OPy, OPz и OPt гиперплоскости, представленных на рис.2.4.3 и 2.4.4.

Гиперплоскость, пересекающую все четыре координатные оси, будем называть гиперплоскостью общего положения. Ни один из коэффициентов A, В, C, D и E такой гиперплоскости в уравнении (2.4.1) не равен нулю.

Графическое выражение гиперплоскости общего положения ее следами на координатных плоскостях представлено на рис.2.4.3 и 2.4.4. Из рисунков видно, что ни один след не параллелен ни одной из координатных осей.

По отношению к координатной системе Oxyzt гиперплоскость может занимать следующие частные положения:

1) может быть параллельна одной из координатных осей;

2) может быть параллельна каким-нибудь двум координатным осям одновременно. В таком случае гиперплоскость параллельна координатной плоскости, определяемой этими двумя осями;

3) может быть параллельна каким-нибудь трем координатным осям. В этом случае она параллельна координатной гиперплоскости, которая определяется такими тремя координатными осями.

Рассмотрим последовательно перечисленные частные случаи.

Если гиперплоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то она отсекает на ней отрезок бесконечно большой длины. Аналитически это означает, что в уравнении (2.4.1) коэффициент при соответствующей текущей координате равен нулю.

Так, например, если гиперплоскость параллельна координатной оси Ox, то в уравнении (2.4.1) коэффициент A равен нулю, и уравнение гиперплоскости имеет вид:

(2.4.3) или (2.4.4) На рис.2.4.5 представлена гиперплоскость Q, параллельная оси Ox, при разных числовых значениях параметров по осям Oy и Ot.

Гиперплоскость четырехмерного пространства однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Следовательно, гиперплоскость может быть однозначно задана и соответствующими комбинациями линейных образов, которые могут быть образованы четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Так, например, гиперплоскость может быть задана плоскостью и точкой, не лежащей в этой плоскости, двумя скрещивающимися прямыми или тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, но не лежащими в одной плоскости и т.д.

Рассмотрим, как может быть задана гиперплоскость, какими комбинациями линейных образов, параллельно оси Ox. Уже отмечалось, что если гиперплоскость параллельна некоторой прямой, то она проходит через прямую, параллельную данной прямой, Следовательно, гиперплоскость, параллельная оси Ox, должна проходить через прямую, параллельную названной оси. Естественно, что интересующую нас гиперплоскость следует задать такой комбинацией геометрических образов, которая содержала бы прямую, параллельную оси Оx.

На рис.2.4.6 представлена гиперплоскость, параллельная оси Ox, заданная двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых ( прямая AB ) параллельна оси Ox, а другая ( прямая CD ) занимает общее положение относительно координатных плоскостей.

Обычно, когда гиперплоскость на ортогональном и аксонометрическом чертежах изображается не следами, целесообразно показать ее четырехгранником, вершинами которого являются четыре точки, не лежащие в одной плоскости и определяющие положение этой гиперплоскости. Таким четырехгранником представлена гиперплоскость на рис.2.4.6. В этом четырехграннике две скрещивающиеся прямые AB и CD, которыми была задана гиперплоскость, параллельная оси Ox, даны утолщенными линиями Ранее было указано, что положение гиперплоскости может быть однозначно определено тремя ее следами на координатных плоскостях. Имея в виду это, можно сказать, что на рис.2.4.5 положение гиперплоскости Q, параллельной оси Ox, может быть задано тремя следами qxy, qxz и qxt или qxz, qyz и qyt и т.д. С точки зрения задания гиперплоскости комбинациями линейных образов, в первом случае гиперплоскость оказывается заданной тремя параллельными прямыми, не лежащими в одной плоскости, во втором — тремя прямыми, пересекающимися в одной точке Q y, но также не лежащими в одной плоскости.

На рис.2.4.7 представлена гиперплоскость R, параллельная оси Ot, на рис.2.4.8 представлена гиперплоскость R, параллельная оси Ot.

Гиперплоскость, параллельная осям Oy и Ot, также может легко быть изображена ее следами на координатных плоскостях и четырехгранником, если гиперплоскость параллельна каким-нибудь двум координатным осям одновременно, то она отсекает на каждой из этих осей отрезок бесконечно большой длины. Так, например, если гиперплоскость параллельна осям Оx и Oy, то на этих осях гиперплоскость отсекает отрезки бесконечно большой длины. Аналитически это выражается в том, что в уравнении (2.4.1) коэффициенты A и B равны нулю.

В этом случае уравнение принимает вид:

–  –  –

(2.4.6) Рассмотрим гиперплоскость R, которая представлена на рис.2.4.9 следами на координатных плоскостях.

Данная гиперплоскость параллельна координатной плоскости xy и следа на этой плоскости не имеет. Если гиперплоскость параллельна какой-нибудь плоскости, то такая гиперплоскость проходит через плоскость, параллельную данной плоскости. Имея в виду это положение, гиперплоскость R можно задать плоскостью, параллельной координатной плоскости xy, и точкой, лежащей вне этой плоскости.

На основании аналогичных соображений легко может быть изображена гиперплоскость, параллельная какой-нибудь другой координатной плоскости.

Из гиперплоскостей такого вида рассмотрим последовательно гиперплоскости, параллельные координатным плоскостям xt, zt и yt.

Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости xt, может быть задана двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна оси Ox, а вторая — оси Ot. Такая гиперплоскость представлена на рис. 2.4.10, где АВ — прямая, параллельная оси Ox, а CD — прямая, параллельная оси Ot.

Как видно из чертежа, ортогональная проекция рассматриваемой гиперплоскости на координатную гиперплоскость xyz вырождается в плоскость Axyz Bxyz Cxyz, которая имеет проекцию на координатной плоскости yz в виде прямой линии. На этой прямой располагаются проекции на эту плоскость всех точек, лежащих в заданной гиперплоскости.

На рис. 2.4.10 показана точка Е, лежащая в данной гиперплоскости на прямой ВС.

Если построить след заданной гиперплоскости, то след гиперплоскости Pyz совпадает с проекцией гиперплоскости Dyz Cyz Ayz Byz.

Аналитически такая плоскость выражается уравнением

–  –  –

(2.4.8) Графическое задание такой гиперплоскости следами изображено на рис.2.4.11.

Рассмотрим гиперплоскость, параллельную координатной плоскости zt, на основе соображений, аналогичных только что изложенным. Такая гиперплоскость аналитически выражается уравнением:

(2.4.9) или (2.4.10) Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости zt, может быть задана двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна оси Oz, а вторая — оси Ot.

Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости yt, аналитически выражается уравнением:

–  –  –

(2.4.12) Названная гиперплоскость представлена на рис.2.4.13.

Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости yt, может быть задана плоскостью, параллельной названной координатнойплоскости и точкой, не лежащей в этой плоскости, двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна оси Oy, а вторая оси Ot, а также комбинацией геометрических образов, определяющих положение рассматриваемой гиперплоскости.

На рис.2.4.14 гиперплоскость, параллельная координатной плоскости yt, задана двумя скрещивающимися прямыми AB и CD, проекции которых на координатную плоскость xz сливаются в одну прямую.

<

–  –  –

Любая точка, лежащая в такой гиперплоскости, имеет координату по оси Ot, равную параметру OPt этой гиперплоскости по той же оси. Здесь же показано задание данной гиперплоскости 4х-гранником, проекция которого на xt совпадает с ее следом.

Гиперплоскость, параллельная координатной гиперплоскости xyt, представлена на рис.2.4.16.

Такая гиперплоскость выражается уравнением:

–  –  –

В четырехмерном пространстве имеется шесть правильных гипергранников, которые называются политопами. Одними из политопов являются гиперкуб и симплекс (гипертетраэдр). Кроме того, в четырехмерном пространстве могут быть и гиперпризма, и гиперпирамида, и многие другие геометрические фигуры, полученные по аналогии с трехмерным пространством.

Построение проекции гипергранников сводится к нахождению проекций его гиперграней (трехмерных фигур), граней (двумерных плоскостей), ребер и точек. Все эти построения сводятся к построению проекций отдельных точек. Трехмерный куб в четырехмерном пространстве — это ни что иное, как гиперплоскость, определяющая трехмерной фигурой. Следовательно, как и гиперплоскость, куб может занимать в четырехмерном пространстве различные общие и частные положения.

Рассмотрим изображение куба Р, когда он занимает положение, параллельное координатной гиперплоскости xyz (рис.2.5.1).

Все точки куба Р имеют равные координаты по оси Ot. Три взаимн-перпендикулярные ребра куба P расположены параллельно трем взаимно-перпенди- кулярным осям Ox, Oy, Oz гиперплоскости проекции xyz. Проекция на гиперплоскость будет иметь натуральную величину. Проекция же на координатную гиперплоскость xyt будет иметь плоскую фигуру, т.к. все точки по оси Oz вырождаются. Проекция же на координатную плоскость xt будет изображаться в виде отрезка прямой линии. Куб P определяет гиперплоскость «t - уровня», у нее все координаты по оси Ot равны. В координатной гиперплоскости xyz куб P имеет проекции аналогично трехмерному пространству, при этом его двумерные грани проецируются на координатные плоскости в натуральную величину. На рис.2.5.1,б,в дано изображение куба P на аксонометрическом и ортогональном чертежах.

Рассмотрим гиперкуб Q в четырехмерном пространстве на наглядном, аксонометрическом и ортогональном чертежах (рис.2.5.2, а,б,в).

На наглядном чертеже рассмотрим проекции гиперкуба P на все координатные гиперплоскости четырехмерного пространства (рис.2.5.2,а).

При этом гиперкуб помещен так, что передняя гипергрань ABCDEFMK и задняя гипергрань A`B`C`D`E`F`M`K` расположены параллельно гиперплоскости xyz ( подобно тому, как выше был рассмотрен трехмерный куб). Построение проекций гиперкуба сводится к построенио проекции отдельных точек - его вершин.

Рассматривая рис.2.5.2,а обратим внимание на следующее:

1) гипергрань ABCDEFMK спроецировалась на гиперплоскость xyz в натуральную величину, а на гиперплоскость xyt в виде квадрата AEFB.

2) гипергрань A`B`C`D`E`F`M`K` спроецировалась на гиперплоскость хyz также в натуральную величину, а на гиперплоскость xyt в виде квадрата A`E`F`B`.

3) Проекция гиперграни ABCDEFMK на гиперплоскость xyz и проекция гиперграни A`В`С`D`E`F`M`K` на xyz совпадают.

4) Все проекции гиперкуба Q на xyz, xyt, xzt и yzt получаются в виде одинаковых фигур — 3х-мерных кубов.

На комплексном аксонометрическом чертеже (рис.2.5.2,б) гиперкуб Q изображен своими проекциями xyz и xyt в виде трехмерных кубов на координатных гиперплоскостях xyz, xyt. На ортогональной чертеже (рис.2.5.2,в) гиперкуб Q изображен на трех координатных плоскостях в виде квадратов; вершины этих квадратов представляют собой проекции вершин гиперкуба и одновременно проекции тех граней, которые расположены перпендикулярно к соответственной плоскости проекций.

Например, точка, обозначенная четырьмя буквами A, B, C и D на координатной плоскости, является проекцией грани AВCD.

Таким образом, если гиперкуб расположен так, что у него четыре взаимно-перпендикулярные ребра в одной вершине расположены параллельно четырем взаимно-перпендикулярным осям системы Oxyzt, то его гиперграни будут проецироваться на координатные гиперплоскости в натуральную величину.

К правильным гипергранникам в четырехмерном пространстве относится и гипертетраэдр (симплекс). Он получается следующим образом. В трехмерном тетраэдре определяется центр и восстанавливается перпендикуляр, на котором откладывается расстояние таким образом, чтобы получились ребра тетраэдра, равные ребрам трехмерного тетраэдра.

На рис.2.5.3,а основание гипертетраэдра ABCDS, трехмерный тетраэдр AВCD выбран параллельно гиперплоскости xyz. Из его центра на перпендикуляре, который будет расположен параллельно оси Ot определена вершина S.

На рис.2.5.3,б, в гипертетраэдр AВCPS построен на аксонометрическом и ортогональном чертежах. Данный гипертетраэдр является частным случаем гиперпирамиды, в основании которой лежит трехмерная фигура.

Гиперпризма имеет в основании также равные трехмерные фигуры (куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр), а боковые грани — гипер-параллелограммы, можно сказать, что изображение гиперпризмы представится на чертеже, как сочетание нескольких параллелепипедов и двух правильных трехмерных многогранников.

На рис.2.5.4,а,б,в гиперпризма Р, основанием которой является тетраэдр, построена на наглядном аксонометрическом и ортогональном чертежах.

Основание гиперпризмы — тетраэдр, как и для гипертетраэдра, расположено параллельно гиперплоскости xyz.

6.1. Конус и гиперконус в 4-мерном пространстве

–  –  –

Рис. Цилиндр и винтовая линия в 4-мерном пространстве Рис. Гиперконус. В основании – сфера-шар.

Рис. Гипершар. Главные линии гипершара и точки на них Рис. Одна восьмая сферы в 3-мерном пространстве и гиперсферы в xyt

–  –  –

Гора Белуха в нашем 3-мерном пространстве как проекция из 4-мерного гор Белу (в xyt) и оригинала Субелу в xyzt Гипершар и его проекции в координатные подпространства При необходимости изобразить гиперплоскость, параллельную какой-нибудь координатной гиперплоскости не следами, ее можно задать четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости (рис.2.4.15).

В этом случае следует иметь в виду, что у всех четырех точек координаты по оси, по которой измеряются расстояния от этой координатной гиперплоскости, должны быть равными.

Если в уравнении (2.4.1) положить E = 0, то уравнение имеет вид :

–  –  –

(2.4.22) которое является уравнением гиперплоскости, проходящей через начало координат параллельно оси Ox, т.е. уравнение гиперплоскости, проходящей через ось Ox. Три следа такой гиперплоскости qxy, qxz и qxt проходят через начало координат, а три следа qyz, qzt и qyt совпадают с осью Ox.

Тема 7. Гиперкуб и гипершар Гиперкуб — обобщение куба на случаи с числом измерений больше 3.

Формально гиперкуб определяется как декартово произведение N равных отрезков Также можно сказать, что N-куб — это фигура, каждая вершина которой связана ребрами с N других вершин; N в свою очередь определяет размерность этой фигуры. Или же, N-мерный куб образуется N парами параллельных (N-1)-плоскостей, то есть имеет 2N граней, каждая из которых является (N-1)-кубом.

Объём N-куба равен VN = aN, где a — длина ребра.

Площадь поверхности N-куба есть сумма объёмов его граней: SN = 2NaN 1.

В информатике: гиперкуб — сетевая топология, в которой узлы являются вершинами графа многомерного куба.

Четырехмерный гиперкуб это просто куб в четырёхмерном пространстве. Увидеть его – пространства между гранями довольно сложно. Это примерно бы существо живущее в плоскости, и даже нашедшее средство изображать на плоскости 3-мерный куб попытался «увидеть» еще какое-то пространства не имея с ним никакого опыта.

Он будет его строить по всякому, но все равно он для него будет плоским.

Рис. Гиперкуб справа в перспективе без передней стенки

Для нас кажется то одна грань впереди то другая. В перспективном изображение 2-мерное существо увидит «квадрат в квадрате». Но увидеть пространство между гранями все равно сложно.

А нам увидеть 4-мерный куб это еще сложнее.

Количество вершин, рёбер, граней-двумерных кубов и гранейквадратов.

Количество вершин – 16, ребер - 32, граней-квадратов - 24, граней-кубов – 8.

Рис. на этом рисунке можно посчитать и вершины, ребра, грани и гиперграни, не забывая, что многие из них являются общими.

Можно попытаться построить гиперкуб, ограниченный 2мерными гранями: просто каждой точке-вершине должно быть 4 степени свободы.

Три грани куба. Если на них положить как ее дубль сверху и представить что между ними есть пространства (надуть). Однако если зеркально отразить и совместить, то более наглядно получится куб. У него 8 вершин – 12 ребер и 6 граней. В каждой вершине сходится (когда наложили вторую половинку сверху) три ребра.

Нельзя ли так разложить грани гиперкуба.

Рис. Слева нижняя половинка, справа - верхняя Число ребер 32, при по контуру ребра совпадают у обеих половинок. Число граней – 18. Шесть граней находятся внутри, перегородки.

То есть такая форма вполне подходит по 4меную фигуру: в каждой вершине сходятся 4ре ребра. Но вот будет ли гиперкуб, это сложно сказать.

Рис. Форма можно представить 4-мерная – из каждой точки можно принять, что выходит 4ре независимых вектора.

Однако будем рассуждать с позиций 2мерного существа. Попав он в 3-мерное пространства, он стал бы ограничивать 3-мерное пространство (куб) известными ему прямыми линиями. Так и мы пытаемся 4-мерное пространство (гиперкуб) ограничить плоскостями, а ребра считать по обыкновению нашему прямыми линиями. А нет – должны строить грани – 3-мерные. То есть, если ходим напилить «доску» она должна иметь 4-ре измерения, причем ребра – это плоскости.

. Рис. Ребра у 4-мерного блока: плоские прямоугольники 3-мерные листы

Так можно представить заднюю - переднюю, верхнюю – нижнюю как бы «стенки».

Явно видны 6 стенок - гипреплоскости. Увидеть еще две гиперплоскости сложно. Можем только сказать что объем такого блока будет произведением 4-х измерений.

Для исследования гиперкуба, написано с десяток скриптов с выходом в систему «Вектор». Например ниже получен рисунок, который больше походит на 4-мерный параллелепипед, у которого верхнее и нижние основания 3-хмерные кубы. В нем вы можете найти 16 вершин, 24 грани-квадрата и 32 ребра Представить 4-мерную геометрию можно, моделируя с помощью магнитных трубок Чем не одномерный мир, причем, только верхний большой шар - магнитный. Остальные 8 шаров - простые немагнитные стальные шары, намагничивающиеся за счет магнитного шара и держаться все вертикально.

Здесь из стержней и шаров можно собрать самые замысловатые фигуры.

Так, справа сконструирован «футбольный мяч»

Для 10 этажей потребуется 286 шаров и 1320 прутков. Сколько потребуется прутков и шаров 4-мерной такой формы. Так 10-мерный куб (рис. справа) будет иметь 1024 вершин, 5120 квадратов, 11520 отрезков, 15360 кубов и еще всяких образов другой размерности, например, тессерактов и т.д.

Способ изучения геометрии 4-мерных образов на примере развития геометрии раскроя шара Форма шара образованная из простого платоновского тела - икосаэдра, сложенного из 20-ти треугольников: Путём усечения её угловых вершин получается фигура в виде футбольного мяча, состоящая из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, Если из каждой вершины исходило четыре отрезка, то можно было бы представить, что эта

– 4-мерная фигура. Однако поверхность гипершара есть гиперсфера, она 3-мерная, (обычная сфера в нашем пространстве - двумерная) то вот как раз такая форма вполне соответствует. По направлению одного отрезка идут экватор xyz, другой отрезок – также экватор в xyt, третий отрезок – главный профильный меридиан, по которому замеряется широты.

Футбольный мяч – как модель гиперсферы В трехмерном пространстве разрезая шар, вращая и сдвигая можно из сферы вывернуть его, сделать тор и еще всякие формы.

В 4-мерном пространстве разрезать не надо. По крайнем мере, вывернуть шар (двумерный конечно) наизнанку нет проблем.

Есть интересная теория «футбольной» сетки, наложенной на земной шар (автор Владимир Силка).

На его рисунке ниже нарисовано две, наложенные друг на друга, простые платоновые фигуры - икосаэдр с додекаэдром, напоминающей футбольный мяч.

С точки зрения физики кристаллов, каждый кристалл имеет внутреннее напряжение, то есть обладает потенциальной энергией, которую можно даже использовать, например, в пьезокристалических зажигалках. Так же и земной шар как бы обладает такой энергетической решеткой, соответствующей его геометрической фигуре. Теоретических ответвлений этой теории на сегодняшний день имеется достаточно много.

Поскольку земной шар состоит из пяти и шестиугольников (являющимися классическими мистическими фигурами) то и функционирование мировых энергий в этой фигуре также будет подчинено классической схеме.

С позиций эзотерики центры пятиугольников будут точками глобального выхода тёмной-активной-действующей энергии, а центры шестиугольников будут соответственно излучать светлуюпотенциальную-успокоительную энергию.

8 из 18 центров таких пятиугольников попадут приблизительно в точки так называемых «бермудских треугольников». Один из них накрывает зону падения тунгусского метеорита.

Управлять энергиями, выходящими из центров этих многоугольников почти невозможно. Это приблизительно так же, как управлять извержением вулкана. Но, тем не менее, управлять балансом этих сил вполне возможно, но не из центров, а из «мёртвых зон» или «тихих зон», находящихся на равноудалённом расстоянии от зон выходов энергий. Это области вершин усечённого икосаэдра, где соприкасаются несколько пяти и шестиугольников.

С позиций 4-мерной пространства такая сетка на сфере в пространстве xyt и самом пространстве будет действовать еще во много раз сильнее.

Посмотрите на карту, гора Кайлос находится в самом центре пятиугольника 1-2-3-4–25-24-23-22-21-1. Такой кристалл-сетка находятся на горе Меру и Сумеру. Вот почему люди стремятся туда.

На рисунке гора Меру изображена с основанием в виде куба.

Основание у горы Кайлас квадрат. Вершина С (горы Сумеру) находится в 4-мерном пространстве. Вопрос: Какой размерности будет основание у горы Сумеру? 4- мерное, потому что каждая вершина куба связана с точкой лежащей в 4-мерном пространстве.

Приложение 7.1. Построение многогранников в системе «Вектор».

–  –  –

Платоновы тела на картине Леонардо да Винчи* * Наши исследования, что «неизвестным художником» картины был Леонардо да Винчи. На картине изображены Лука Пачоли и его знаменитые геометрические фигуры.

–  –  –

Кубоктаэдр считается квазиправильный многогранник. Гранями этого многогранника являются правильные многоугольники двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа.

Когда Бакминстер Фуллер обнаружил этот многогранник, то эта форма чуть не поглотила все его мысли. Он решил, что кубоктаэдр – первостепенная фигура, величайшая фигура из когда-либо вообще существовавших. Дело в том, что она способна на такое, на что ни одна другая форма не способна. Она была для него так важна, что он дал ей совершенно новое имя: векторное равновесие. Он обнаружил, что эта форма, через различные модели вращения, превращается во все пять Платоновых тел! Похоже, что эта единственная форма содержит в себе их все.

Смоделировать в системе «Вектор» усеченный икосаэдр («футбольный мяч») у которого каждый пятиугольник ограничен шестиугольниками Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (125=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+125=90.

Построение усеченного икосаэдра в системе «Вектор» и натуре Фигуры в 4-мерном пространстве

-- ?

Например, даны куб и гиперкуб. В гиперкубе 24 грани. Значит, у 4-мерного октаэдра будет 24 вершины. Хотя нет, у гиперкуба – 8 граней кубов – в каждом центр - вершина. Значит, у 4-мерного октаэдра будет 8 вершин и того легче.

4-мерный октаэдр. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой тэтраэдров, соединенных по четыре у каждой вершины.

Рис. Попытка смоделировать гипершар-гиперсферу в системе «Вектор»

Передняя – задняя грани – шары без искажения. Еще шесть шаров – можно задать через эллипсоиды или квадратичные поверхности (через 4 линии контура как образующие) или через грани (сначала задаются через образующие).

Еще приемы «построить» гиперсферу - «мяч» в Е4 Приложение 7.2 Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В - число вершин, Р - ребер и Г граней данного многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство:

В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Для гиперкуба не выполняется соотношение Эйлера (на рис. 6). Он имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней. Таким образом, для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.

Тема 8. Позиционные задачи на пересечение Позиционные задачи в 4-мерном пространстве легко решаются, когда геометрические объекты по отношению к координатным гиперплоскостям и плоскостям занимаю частные положения.

Прямая может занимать проецирующее положение к координатным плоскостям и на нее проецироваться в точку (на координатные плоскости этой гиперплоскости проекциями также будет точку) Плоскость, перпендикулярная к координатной плоскости проекций проецируется на нее в точку.

Частные положения прямой, плоскости и гиперплоскости.

Прямая

–  –  –

Перпендикулярные плоскости, одна плоскости xt, другая xz. В первом случае плоскость задана профильным треугольником и точками в углах, во втором случае просто вырожденными отрезками и точкой.

Гиперплоскость Рис. 7.4. Гиперплоскость проецирующая и уровня (она же и проецирующая) Пересечение двух прямых Две прямые пересекаются, если они имеют общую точку. Для прямых общего положения, проблем нет, однако если одна профильная.

<

–  –  –

На рис. 7.3.1 две прямые пересекаются, на рис. 7.3.2 задана профильная прямая восходящая (все ориентированы одинаково - вверх).

Вопрос. Пересекаются ли данные прямые?

Пересечение прямой с плоскостью

–  –  –

На 7.6 – заданы пряма b и плоскость R. В первом случае они явно пересекаются. Однако и во втором они пересекаются, и только на третьем рисунке выполнены немного построений, чтобы найти точку пересечения проецирующей прямой и плоскости общего положения.

Пересечение двух плоскостей Да, две плоскости в 4-мерном пространстве могут пересекаться по прямой и в точке. Две плоскости пересекаются в точке, если они лежат в разных координатных плоскостях. На рис. 7.7.3 именно такой случай.

Рис. 7.7.1 Рис. 7.7.2 Рис. 7..3 Пересечение гиперплоскости и прямой.

Прямая с гиперплоскостью пересекаются в общем случае в точке.

Гиперплоскость может занимать частное положение – значит решение данных задач упрощается. Посложнее решение, когда прямая например, профильная. В этом случае требуется построить профильные проекции на yt и yz/

–  –  –

Пересечение гиперплоскости и плоскости Плоскость и гиперплоскость в общем случае пересекаются по прямой. Это хорошо видно на декартовой модели 4-мерного пространства. Гиперплоскость Oxyt пересекается с плоскостью Ozt – по прямой.

Рис. 7.8. Рис. 7.9 Если проецирующая плоскость свое проекцией точкой будет лежать на вырожденной проекции гиперплоскости, то такая плоскость будет лежать в гиперплоскости Пересечение двух гиперплоскостей Две гиперплоскости в общем случае пересекаются по плоскости.

На рис. 7.8 видно что гиперплоскость Oxyt и гиперплоскость Oyzt пересекаются по плоскости yOt.

Рис. 7.10.1 Рис. 7.10.2

На рисунке показана плоскость пересечения тремя точками. Они могут по вертикальной линии выбраны где угодно.

Резюме. Пересечение геометрических объектов легко решаются, если они занимают честное положения. С помощью преобразований всегда можно общий случай задания свести к частному. Главное надо помнить: преобразуете один объект, второй тащите сразу за ним.

Тема 9. Метрические свойства 4-мерного пространства Евклидово пространство - пространство свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии.

n-мерное евклидово пространство обозначается, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение.

1. Конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

, в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

–  –  –

где хA, уA, zA, tA, xB, yB, zB, tB — координаты концов отрезка.

Таким образом, определение длины отрезка прямой на ортогональном или аксонометрическом чертеже заключается в выполнении геометрических построений, необходимых для отыскания величины, которая выражается формулой (4.2.1).

Пусть в четырехмерном пространстве задан отрезок АВ прямой общего положения (4.2.1). Этот отрезок можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника АВС, прямой угол которого образован проектирующим лучом А Ахуz и прямой ВС, проведенной параллельно проекции Ахуz Вхуz отрезка АВ.

Таким образом, один из катетов (ВС) треугольника АВС равен Ахуz Вхуz, а второй катет (AС) равен разности координат точек A и В (tA tB). В свою очередь проекция Ахуz Вхуz является гипотенузой прямоугольного треугольника Ахуz Вхуz Dхуz в координатной гиперплоскости хуz. Прямой угол треугольника Ахуz Вхуz Dхуz образован проектирующим лучом Вхуz Вху и прямой Ахуz Dхуz (рис.4.2.1).

На этом основании построение на ортогональном чертеже (рис.4.2.2) натуральной величины отрезка АВ производим так: принимаем горизонтальную проекцию Аху Вху за первый катет прямоугольного треугольника, проводим через точку А перпендикуляр к АхуВху, откладываем на нем от точки Аху отрезок А1 Аху, равный разности координат zB и zA точек В и А, и полученную точку A1 соединяем с точкой Вху прямой А1 Вху.

Гипотенуза А1Вху построенного прямоугольного треугольника равна натуральной величине проекции Ахуz Вхуz в координатной гиперплоскости xyz. Далее принимаем отрезок А1Вху за новый катет прямоугольного треугольника, проводим через точку А1 перпендикуляр к А1 Вху, откладываем на нем отрезок A1 А2, равный разности координат tA и tB точек A и В и полученную точку А2 соединяем с точкой Вху прямой А2 Вху. Гипотенуза А2Вху построенного треугольника равна натуральной величине отрезка АВ в четырехмерном пространстве.

Таким образом, определение длины отрезка прямой общего положения в четырехмерном пространстве на ортогональном чертеже геометрически выразилось последовательным построением двух прямоугольных треугольников при горизонтальной проекции заданного отрезка.

Последовательное построение двух прямоугольных треугольников, необходимых для определения длины отрезка АВ, можно выполнить и при фронтальной проекции Ахz Вхz этого отрезка.

Для определения длины отрезка прямой общего положения может быть использован прием перемены плоскостей проекций.

Пусть в четырехмерном пространстве рис.4.2.5 задан отрезок АВ прямой общего положения. Требуется определить его длину.

Из геометрии трехмерного пространства известно, что путем изменения двух плоскостей проекций отрезок прямой можно привести в положение, параллельное двум координатным плоскостям. В этом положении отрезка координаты точек, его определяющих, по двум осям соответственно равны.

На рис. 4.2.5 показаны решение задачи в аксонометрии (аксонометрических проекция) и на ортогональном чертежах. Отрезок дважды параллельный новым плоскостям проекций проецируется на третью в натуральную величину. Надо признать, что преобразования во многих случаях задача сложная. Поэтому, если задача решается аналитически, то так ее и решать. Кроме того для решения метрических задач можно применить и численные, например метод – перебрать и сравнить и выбрать. Часто один и тот же алгоритм-программа способен решать задачи любой размерности.

Определить длину отрезка аналитически и в программе на VBS Например в текстовом редакторе WordPade написали такой текст x1 = 30 y1 = 50 z1 = 10 t1 = 70 x2 = 130 y2 = 110 z2 = 50 t2 = 130 L = sqr((x2-x1)*(x2-x1)+ (y2-y1)*(y2-y1) + (z2-z1)*(z2-z1) + (t2-t1)*(t2t1)) MsgBox «Длина отрезка L = « & L 'вывод значения на экран дисплея и сохранить (как текстовый документ) с расширением *.vbs (такая «иконка» говорит, что это файл языка.vbs) И потом щелкнули по этому файлу программа запустите и при правильном ее тексте выдаст печать на экран:

Пример. Вычислите расстояние между вершинами гор Кайлас и Меру.

Координаты вершин известны: К (0,0,6666,0); М(0,0,0,9999).

Н = sqr((x2-x1)*(x2-x1)+ (y2-y1)*(y2-y1) + (z2-z1)*(z2-z1) + (t2-t1)*(t2t1)) Так что вычислить расстояние между двумя точками – нет проблем. Другое дело, что можно увидеть этот отрезок в 4-мерном пространстве.

Определить расстояние от точки до прямой. Решение этой задачи нетривиально в 3-мерном пространстве и тем более 4-мерном. Применим метод: «перебрать, сравнить и выбрать». Перебирая все точки на прямой, вычисляем каждый раз расстояния от них до заданной точки, сравниваем их и выбирая наименьшее, получим решение задачи. Причем можно определить не только расстояние, но и зафиксировать точку на прямой. То есть решаем задачу поиска перпендикуляра от точки до прямой. Данная задача, запуская соответствующую макрокоманду на языке VBS (или на Java), решается в системе «Вектор»

с соответствующим изображением точки и прямой линии.

Рис. Определение расстояния от точки p3 до прямой общего положения p1-p2.

Определим искомое расстояние численным методом в системе «Вектор».

Расчет и графическое воспроизведение графиков целевых функций в плоскости xy произведен в системе «Вектор».

Резюме. Решать метрические задачи графически можно, но для этого нужно терпение и точность построения. Поэтому метрические задачи надо отдать математике и компьютеру.

Определить натуральную величину плоской фигуры, например треугольника. Известно, если определить натуральные величины, то с помощью циркуля можно построить по трем сторонам на плоскости искомый треугольник, то есть решить искомую задачу.

На рисунках справа и слева задача решена графически методами вращения и замены плоскостей проекций.

Решим задачу Треугольники, полученные графически (слева) и рассчитанный в системе «Вектор» получились примерно одинаковые. Конечно понятно, вычисления намного точнее. Однако треугольник у видеть надо!

Гипершар, расчет объема.

Объем шара равен четырем пи на радиус в кубе, деленным на три.

Объём гипершара равен пи в квадрате умноженное на R в четвертой степени, деленное на 2.

Расчет на VBS:

R=0.5 VBSMsg «Площадь квадрата описанного вокруг окружнасти радиуса R S= pi * r/2 = « & (R+R)*(R+R) & « см в кв»_ & vbCrLf & «Площадь круга S= pi * r/2 = « & 3.14*R/2 & « см в кв»_ & vbCrLf & «Объем куба вокруг шара = « & (R+R)*(R+R)*(R+R) & « см в кубе»_ & vbCrLf & «Объем шара = « & 4*3.14*R*R*R/3 & « см в кубе»_ & vbCrLf & «Объем гиперкуба описанного вокруг гипершара= « & (R+R)*(R+R)*(R+R)*(R+R)& « см в 4-й степени»_ & vbCrLf & «Объем гипершара = « & 3.14*3.14*R*R*R*R/2 & « см в 4-й степени»

Вывод результатов расчета на экран:

Пример. Путь пешехода в 4-мерном пространстве в разных подпространствах Рис. Оптимальное движение путника из пространства xyz в xzt.

Смоделируем данную ситуацию в системы «Вектор».

Ось Оt направим в противоположную сторону от оси Oy. Это вполне возможно по той же теореме Польке: любые 4 отрезка, выходящие из одной точки могут быть приняты за координатные оси пространства Е4.

На рис. справа даны варианты всевозможный перемещений путника из точки р1 в точку р2.

Далее вычисляем время затраченное в том и другом пространстве, при заданным скоростям v1 и v2.

В плоскости xz cтроим ЦФ на все варианты передвижения и до точки оптимума, в которой время будет минимальное Движение неопознанных объектов из пространств перпендикулярных к нам На рис. из двух точек пространства Е4 движутся два объекта D и F. Условие объекты НЛО движутся перпендикулярно плоскостям пересечения xz и yz нашего подпространства xyz с ихними.

Вопрос. Какие координаты при старте должны быть равны, чтобы траектории пересеклись? Скорость передвижения не учитывается.

Ответ. Достаточно, чтобы координата z у объектов D и F были одинаковые.

Упражнение. Смоделируйте движение объектов с заданными скоростями их передвижения.

Может быть другая ситуация. Объект D из пространства xzt вторгся в наше пространство в точке Dxz.

Его траектория известна: он двигается перпендикулярно плоскости xz до Dxyz. Потом объект резко сворачивает и идет перпендикулярно плоскости yz, уходя через плоскость yz в пространство yzt.

Требуется из пускового устройство ракет Сxy, сбить объект D, или догнать его и состыковаться, до того момента, когда он еще не ушел в yzt. Задача решается в нашем Е3 пространстве Кривая – график ЦФ расстояния между ракетой и НЛО

–  –  –

Рис. 2 Если поставить проволочный додекаэдр на плоскость, а затем поднести источник света близко к центру его верхней грани, то проекции-тени рёбер на плоскость составят граф Рис. 3 Красным цветом отмечен гамильтонов цикл. На рис. справа показаны графы, полученные таким же образом из остальных четырёх правильных многогранников. Попытайтесь найти на них гамильтоновы циклы.

Как видно из примера с проекциями, свойства графа не меняются с изменением положения его вершин.

Два графа, изображённые на рис. одинаковы: у них одинаковое число вершин, и если две вершины одного графа соединены ребром, то вершины второго графа, имеющие те же номера, также соединены ребром. Два графа называются изоморфными (от греч «изос» — «равный» и «морфе» — «вид», «форма»), если между их вершинами можно установить взаимно однозначное соответствие. при котором вершинам, соединённым ребром, соответствуют вершины, также соединённые ребром.

Графы на рис. 12 тоже изоморфны. Отметим, что у одного из них некоторые рёбра пересекаются, у второго же таких пересечений нет.

А всегда ли граф можно изобразить на плоскости так, чтобы его рёбра не пересекались? Оказывается, нет. Графы, для которых это возможно, называются плоскими.

Задача Эйлера. Три соседа поссорились. Все три имеют по колодцу.

Возможно ли проложить тропинки от дома каждого соседа к каждому колодцу так, чтобы эти тропинки не пересекались?

На рис. проведено восемь из девяти тропинок, но провести девя-тую не удаётся.

Не удается решить задачу на плоскости, на сфере то же не удастся, а вот в шаре можно тоннель прорыть, или по воздуху – виадук построить. Однако, а можно ли решить эту задачу по другому? Можно – для этого выйти в другое измерение. Чтобы лучше понять, как это сделать, обратимся к двумерному существу, точнее существам, как бы они решили эту задачу с выходом в наш 3-мерный мир.

Рис. 2-мерные и 3-мерные миры Даны два колодца и два соседа (живут в разных домах). Слева задача в плоскости не разрешима, хотя они могут и летать – прокладывать тропинки по воздуху. Если бы они могли выйти в 3-мерное пространство на плоскость xy, то задача становится решаема, и сосед, которому не досталось дороги к колодцу, может подойти к колодцу, не строя дороги в облаках.

Выйти в другое измерение – в принципе, прорыть туннель и подойти к колодцу с другой стороны. Пример простой. Другое дело: как попасть внутрь горы, не взрывая ее. Пример также с 2-мерным миром.

Пример, как двумерные существа забрали клад внутри горы, выйдя в 3-мерное пространство.

Пример, как двумерные существа забрали клад внутри горы, выйдя в 3-мерное пространство.

Как проникнуть во внутрь Малого Кайласа и достать камень Чинтомани. Есть предания, что камень спрятан именно под его вершиной. В Тибете копать, сверлить в горе, тем более священной, настрого запрещено. Надо искать вход из другого измерения. Другое предание – камень Чинтомани – это сердце земли и оно двигается в амплитуде от минус 6666 метров в глубину от подножия Кайласа – до его вершины. Планета Земля эволюционирует и готовится к своему космическому посвящению и четырехмерному преображению.

По информации Елены Рерих, Камень представляет собой кусочек физического Сириуса. Кристалл Шамбалы находится под основным Кайласом, в специальной мобильной комнате. Мобильной потому что он имеет свойство перемещаться. Камень перемещается внутри горы Кайлас, крайние (экстремумные) точки его хода - 6666 метров под землю, + 6666 метров вверх, Есть расчеты, когда комната с Кристаллом находится ровно на уровне поверхности Земли. Это самое удобное время, когда из перпендикулярное нам пространство xyt, увидеть комнату и, соответственно, камень в этой комнате. А кто увидит, камень, тому многое откроется и сразу половина священный кор (из 108) пойдут в зачет адепту, шагающему вокруг Кайласа.

После 54 совершенных кор, адепт начинает много видеть. Например, они видят внутри пирамиды, явного искусственного происхождения.

Эрнст Мулдашев их даже зарисовал Однако наиболее сильное энергетическое поле под Малым Кайласом. Сюда направлен лазер и, именно под горой Малого Кайласа, имеется возможность «свернуть» в другое измерение, откуда увидеть камень Чинтомани, в тот момент, когда он будет на уровне подножия Кайласа.

Камень и его ковчег-камера находятся в торсионном поле, что напоминающее на рисунках ниже.

Когда камень достигает верхней точки, над Кайласом можно наблюдать вихри торсионных полей, см. фото ниже.

–  –  –

Камень Чинтомани увидели Николай Рерих и Елена Блаватская.

Увидеть камень Чинтамани под Малым Кайласом с помощью лазера и торсионных полей от горы Меру С позиций, что Кайлас – гора 4-мерная, продолжим исследовать графы 4-мерных фигур. Плоские графы обладают интересными свойствами. Так, Эйлер (а ранее Декарт) обнаружил простую связь между количеством вершин (В), количеством рёбер (Р) и количеством частей (У), на которые граф разделяет плоскость: В-Р + Г=2.

Формула верна для любого выпуклого многогранника, причём В и Р — вновь количества вершин и рёбер, а Г — число граней многогранника.

Графы 4-мерных фигур По аналогии с рисунками, 2, 3 можно построить графы гипероктаэдра и гиперкуба, гипердекаэдра и т.д.

Граф гиперкуба Такие графы не будут плоскими (у них ребра пересекаются). Но может быть они будут тоже обладать какими-либо свойствами?

Для гиперкуба соотношение Эйлера не выполняется: ребра пересекаются. Этот многогранник имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней.

Для него выполняется равенство В – Р + Г = 0.

Есть ли хоть одна 4-мерная фигура с плоским графом?

В гиперпирамиде (рис. справа), куда бы не помещали ее вершину, ребра будут пересекаться. В 3-мерном пространстве граф у которого бы не пересекались ребра и даже грани, каркасную модель можно сделать. Будет, типа пирамида в пирамиде. Она имеет 9 вершин, 20 ребер и 10 граней.

Сколько гиперплоскостей у пирамиды? Из 8 гиперплоскостей гиперкуба – одна хлопнулась, значит осталось - 7.

Из 32 ребер – 12 ребер превратились в точку, значит осталось 32-12=20 ребер, и граней стало на 6 меньше, чем у гиперкуба (16-6) = 10:

В + Р + П + Г = 9 - 20 + 10 + 7 = 6 Формула зависимостей вершин, ребер, плоскостей и гиперплоскостей, как у Эйлера пока не получается.

Проверим еще на такой пирамиде 10(В) - 21(Р) + 10 (П) + 6(Г) = 10 - 21 + 10 + 6 = 8 Получается что в такой фигуре – 7 гиперграней? Это вероятно самое сложное подчитать. В данном случае от пирамиды с одной точкой добавляется еще две гиперплоскости.

Добавим еще одну - третью вершину (точка 11). Вершин – 11, ребер -13, плоскостей 10, добавилось… ? И наконец, в верхнем основании

– 4 угольник.

Вершин у него – 12; ребер - ?, граней -?, гиперплоскостей - ?

Нарисуем такую пирамиду (верхнюю часть не поворачивая) в аксонометрии. На ней легче посчитать количество ребер и граней. Это тот же гиперкуб, у которого одна гиперплоскость - плоскость (дырка).

Итак, имеем: 12 вершин, 20 ребер, 13 плоскостей и 7 гиперграней.

Формула: 12+ 20+ 13+ 7 = 52 Что интересно, что в такой фигуре через верхнее основание, можно «увидеть», что находится внутри горы - пирамиды и, соответственно, попасть во внутрь. Поэтому не является ли Малый Кайлас также входом в 4-мерное пространство. Не зря запрещено подниматься на Малый Кайлас.

Тема 11. Лента Мебиуса и бутылка Клейна в Е4 Перед тем как перейти к ленте Мебиуса, бутылки Клейна, представим в пространстве Е4; более простые фигуры.

Используем параметрические способы их задания.

Тор.

x=(R + r2*cos(v))*cos(u) y=(R + r2*cos(v))*sin(u) z= r2*sin(v) R – внешний диаметр;

R – внутренний диаметр 0 = U,v = 2Pi

–  –  –

В системе «Вектор» фигуры можно посмотреть сразу в 4-х проекциях, «мышкой» крутить в пространстве, задавать как тела, вычислять объем, центр тяжести и т.д. и т.п.

Интересно из параметрического представления получать различные гиперпирамиды, в том числе и гиперкуб Гиперпирамида через 4 и 2 гиперсечения, справа – гиперкуб: верхнее и нижнее основания Лист Мебиуса

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества Е3 является параметризация:

–  –  –

.

Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в.

Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

В системе «Вектор» по этим формулам получилось следующие картинки. Что-то на лист Мебиуса на рис.1 мало подходит. Оказывается, это лента Мебиуса да не та. Отсюда проблема: Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путем складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну.

Лист Мебиуса в системе «Вектор» с меняющейся шириной ленты 4-мерное представление листа Мебиуса в параметрическом виде.

Здесь листы Мебиуса – «пирог» в 4-мерной перспективе Можно листы Мебиуса конструировать. Например, в системе «Вектор» с помощью задания полиповерхности или для 4-мерного – поли тела.

Лист Мебиуса в искусстве «Переход» через ленту Мебиуса в другое измерение Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научнопопулярных книг «Библиотечка „Квант“«. Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр.

«Застава на Якорном Поле. По-весть»). В рассказе «Лист Мёбиуса»

автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo» (СПб.: Амфора, 2003). Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Moebius; Аргентина, 1996) — фантастический фильм режиссера Густаво Москера. Снят по мотивам рассказа А. Дж. Дейча «Лист Мёбиуса». Фильм создан Университетом Кинематографии БуэносАйреса и является, по сути, дипломной работой его выпускников.

В метро Буэнос-Айреса происходят странные вещи. После строительства развязки нескольких узлов пропадает целый состав поезда со всеми пассажирами. У состава нет даже теоретических возможностей покинуть туннель, что лишь усложняет ситуацию. Ни одна камера наблюдения не может его засечь, никто не видит его лично, единственные признаки его существования - это шум движущегося состава и прогонный ветер. Кроме того, на состав реагируют приборы, переключая время от времени семафоры. Расследовать причины пропажи поезда была создана комиссия, однако ее работа ни к чему не привела.

Руководство метро решает обратиться к проектировщику Даниелю Платту, представляющему студию «Дель-Плато», в свое время спроектировавшую и построившую эту развязку метрополитена. Даниель проводит собственное расследование и приходит неожиданному выводу. Система метрополитена, после открытия окружной ветки, стала очень сложной и представила собой вариант ленты Мебиуса.

Поезд, по мнению Даниела, в силу обстоятельств попал на «обратную сторону» ленты и стал двигаться в ином измерении, покинув ограниченное пространство метрополитена. Даниель пытается доказать это математическими расчётами, однако ему никто не верит. Впрочем и он сам до конца не уверен в своей теории, до той поры, пока сам, случайным образом, не садится в тот самый пропавший состав.

Бутылку Клейна можно склеить из двух поверхностей, каждую из которых удается задать параметрически:

x = a cos u(1 + sin u) + r cos u cos v, y = b sin u + r sin u cos v, z = r sin v (0 u..pi, 0 v 2pi 2-я половина x = a cos u(1 + sin u) + r cos u cos v, Справа что-то получилась и у нас. Как плавно сгладить? непонятно.

Изобразить оси 4-мерного пространства на фигурах Эшера.

Ось t направлена противоположно оси z и оси x (рис. справа)

–  –  –

Тема 12. О теории струн и D-бран Вселенной Теория струн требует к обычному трёхмерному пространствувремени докрутить ещё несколько измерений, которые играли бы роль на раннем этапе Вселенной, но сейчас находятся в компактифицированном состоянии.

Струна «наматывается» на дополнительные измерения, ограничивая их размер.

В рамках теории бран (и М-теории) всё начинается с холодного, статичного пятимерного пространства-времени. Четыре пространственных измерения ограничены трёхмерными стенами или трибранами; одна из этих стен и является пространством, в котором мы живём, в то время как вторая брана сокрыта от восприятия. Существует ещё одна три-брана, «потерянная» где-то между двумя граничными бранами в четырёхмерном пространстве. Согласно теории, при столкновении этой браны с нашей высвобождается большое количество энергии и тем самым образовались условия для возникновения Большого взрыва – образования нашей Вселенной. Примеров образования новых Вселенных – предостаточно.

12. 1. Двойные пульсары На рис. показана схема взаимодействия пары пульсаров.

Вспышка сверхновой звезды — это просто переход части гравитационной энергии в тепловую. Когда в старой звезде заканчивается топливо и термоядерная реакция уже не может разогреть ее недра до нужной температуры, происходит как бы обрушение — коллапс газового облака на его центр тяжести. Высвобождающаяся при этом энергия разбрасывает внешние слои звезды во все стороны, образуя расширяющуюся туманность. Если звезда маленькая, типа нашего Солнца, то происходит вспышка и образуется белый карлик.

Если масса светила более чем в 10 раз превышает Солнечную, то такое обрушение приводит к вспышке сверхновой звезды и образуется обычная нейтронная звезда. Если же сверхновая вспыхивает на месте совсем большой звезды, с массой 20—40 Солнечных, и образуется нейтронная звезда с массой большей трех Солнц, то процесс гравитационного сжатия приобретает необратимый характер и образуется пульсары – необычайно плотные объекты. Они могут иметь массу Солнца и размер среднего города.

Пульсары испускают узкий направленный луч необычайно мощных радиоволн. Если плоскость вращения пульсара проходит через Землю – мы видим периодические вспышки излучения. Это похоже на маяк с вращающимся лучом.

Система PSR J0737- 3039B, лежащая в 2 тысячах световых годах от нас, была открыта в 2003 году. Это двойной пульсар, необычная закономерность во вспышках которого долгое время озадачивала учёных.

Дженет и Рэнсом рассчитали, что эти пульсары вращаются вокруг своих осей, а также вокруг друг друга, в плоскости практически совпадающей с лучом зрения.

При этом, когда меньший пульсар попадает в мощнейший луч от большего соседа, то словно подстёгнутый вспыхивает и сам.

Воспользовавшись общей теорией относительности Эйнштейна, учёные предсказали, как гравитационные эффекты взаимодействия двух пульсаров изменят законы излучения этой пары со временем.

Экзотический двойной пульсар, по словам Дженета, станет «розеттским камнем» пульсаров и поможет разгадать многие их тайны.

Пульсар, находящийся в центре Крабовидной туманности, может оказаться первым известным астрономам небесным телом, имеющим больше двух полюсов.

Объекты с 4-мя полюсами в 4-мерном пространстве

Согласно концепции Хэнкинса, причиной необычного излучения служит ещё один – третий – полюс. Вероятно, возникновение этого образования произошло в ходе формирования пульсара – мощного, сложного и ассиметричного процесса. О том, как и почему события развивались именно так, должны будут рассказать дальнейшие исследования.

К этому Хэнкинс добавил то, что у изучаемого объекта должен быть ещё и четвёртый полюс, «дополняющий» третий, так как все магнитные поля имеют по паре полюсов.

12.2. Чёрная дыра в треугольной капле воды Интерес для учёных представлял с левитирующей жидкостью. В неё погружали два тонких электрода и пропускали электрический ток.

Взаимодействие тока с полем приводило к раскручиванию воды. При достижении темпа вращения примерно в три оборота в секунду экспериментаторы наблюдали эффект, никогда не фиксировавшийся ранее: на виде сверху капля становилась треугольной, оставаясь стабильной, пока не менялись условия. Воды в капле при вращении стремится занять наиболее выгодную, с низким «энергетическим состоянием» форму.

Физики же из Ноттингема объясняют, что опыт с каплями — шаг к пониманию сил, действующих как в масштабе атомного ядра, так и в космологических масштабах. Ведь по своему характеру силы гравитации и сильное ядерное взаимодействие во многом напоминают силы поверхностного натяжения, то есть ведут себя сходным образом.

Некоторые учёные считают правомерной такую аналогию: горизонт событий чёрной дыры — это некая поверхность, или мембрана, в которой действуют силы поверхностного натяжения (об этом говорит и Хилл).

–  –  –

12. 3. Планеты трех солнц Найдена планета в системе с тремя звёздами. Художник, нарисовавший образ вновь открытой системы, избрал «точку зрения» с гипотетической луны вновь открытой планеты.

–  –  –

12. 4. Нейтронные оригиналы Открытие в 1932 году новой элементарной частицы — нейтрона открыло нейтронные звезды. Если небольшие звезды (типа нашего Солнца) в конце своей эволюции превращаются в белых карликов, то более тяжелые становятся нейтронными. В 1967 году от нейтронных звезд были обнаружены странные сигналы — импульсы радиоизлучения, не похожие на обычную хаотическую картину случайных нерегулярных колебаний радиоизлучения. После тщательной проверки всей аппаратуры пришла уверенность, что импульсы имеют внеземное происхождение: сигналы были столь регулярны, что ученые всерьез предположили, что они могут быть весточками от внеземных цивилизаций.

А потому первый пульсар получил название LGM-1 (Little Green Men — «Маленькие Зеленые Человечки»), хотя попытки найти какой-либо смысл в принимаемых импульсах окончились безрезультатно. Из-за импульсного характера излучения новые объекты стали называть пульсарами.

Рис. Пульсар Пульсар — это просто огромный намагниченный волчок, крутящийся вокруг оси, не совпадающей с осью магнита. Данный волчок имеет колоссальную массу и высокую температуру поверхности, да и вращающееся магнитное поле создает огромное по напряженности электрическое поле, способное разгонять протоны.

Образование черных дыр. Когда в старой звезде заканчивается топливо, звезда взрывается, образуя нейтронную сверхновую звезду.

Если же сверхновая вспыхивает на месте совсем большой звезды, с массой 20—40 Солнечных, и образуется нейтронная звезда с массой большей трех Солнц, то процесс гравитационного сжатия приобретает необратимый характер и образуется черная дыра.

Магнетары черпая энергию из магнитного поля. И хотя магнетары на сегодня остаются детищами теоретиков и нет достаточных данных, подтверждающих их существование, астрономы упорно ищут нужные доказательства.

Первые 10 000 лет магнетар— это пульсар, видимый в обычном свете и дающий повторяющиеся вспышки мягкого рентгеновского излучения, а последующие миллионы лет он, уже как аномальный магнетар, исчезает из видимого диапазона и попыхивает только в рентгеновском. Магнитное поле вблизи поверхности этого магнитара достигает 1015 гаусс.

Все мы знаем, что энергия любит переходить из одной формы в другую. Электричество легко превращается в тепло, а кинетическая энергия — в потенциальную.

Всего на сегодняшний день астрономы обнаружили около 1 200 нейтронных звезд. Из них более 1 000 являются радиопульсарами, а остальные — просто рентгеновскими источниками. Звезды в двойных системах относятся к самым загадочным и неуловимым астрономическим объектам, соединяющим в себе сильнейшие гравитационные и магнитные поля и экстремальные плотности и энергии.

12. 5. Впервые создана чёрная дыра для света Над первой рукотворной чёрной дырой для микроволнового излучения работали американские теоретики и китайские инженеры. Теоретическое описание устройства, которое могло бы затягивать световые лучи, представили А. Килдышев и В. Шалаев из университета Пардью.. В основе идеи лежало представление о космических чёрных дырах, которые благодаря сильнейшей гравитации затягивают в свои недра всю окружающую материю и излучение. Физики посчитали, что существует возможность создания устройства, которое схожим образом искривляло бы световые лучи и приводило их к своему центру. Для этого необходимо построить цилиндрическую структуру, состоящую из центрального ядра и ряда концентрических колец. «Когда электромагнитная волна попадает на поверхность устройства, она захватывается и направляется от оболочки к центру, где поглощается.

–  –  –

12. 6. Шапка-невидимка Идея наверное состоит в том, что прозрачные материалы преломляют свет, который можно направить так чтобы он уходил в ловушку

– черную дыру.

Принцип работы «шапки» или «плаща-невидимки» был в теории предложен в 2006 году. И вот учёные впервые сделали объект невидимым. И речь идет об объектах размеры которых на три-четыре порядка больше длины волны видимого света. “то достигается с помощью природных веществ, например. кристаллы кальцита – дешёвый и простой в производстве материал.

Ранее световые волны запутывали сложными конструкциями из наноразмерных слоёв, фокусировав по определенному закону те или иные цвета света. В нынешних работах объект и прячущая его «шапка-невидимка» не являются единой структурой, что позволяет в любой момент отделить «волшебный» материал и прикрыть им другой сопоставимый по форме объект. Преимущества такого подхода очевидны. Учёные склеили между собой два куска прозрачного минерала, чтобы скорректировать ход светового луча как на входе, так и на выходе. В обоих случаях под кристаллом прятали похожий на двойной клин объект. С помощью шапки-невидимки можно делать невидимыми объекты, расположенные, например, на морском дне…

Тема 12. М-теория энергетически минимально энергетических мембран

Рис. Примеры проникания пространства с помощью черных дыр Одномерная струна, т.е. 1-брана на новом языке теоретиков, может полностью окружить одномерный пространственный объект, например окружность.

Рис. Струна может обернуть одномерный свернутый элемент пространства, а двумерной мембраной можно обернуть двумерный объект.

Обычный надувной мяч, является трехмерным, а его поверхность имеет два измерения. Любую точку на этой поверхности можно задать с помощью двух координат, например широты и долготы. Мяч можно задать четырехмерным, а его поверхность — трехмерной. В теории струн рассматривают сфера и ее обертывающая брана (мембрана). В момент, когда сфера стягивается в точку, соответствующая черная дыра становится безмассовой.

Так отверстие тора в процессе разрыва/восстановления, может превратиться в точку, или наоборот из точки превратиться в шар.

Масса 3-браны, обертывающей трехмерную сферу, будет уменьшаться и станет равной нулю в момент коллапса Аналогично, двувумерная мембрана, т. е. 2-брана, может обернуть и полностью покрыть собой двумерную сферу, подобно тому, как полиэтиленовая пленка плотно обертывает поверхность апельсина. Т.е. 3-браны, могут окутывать и полностью покрывать собой трехмерные сферы. 3-брана является скроенным экраном, компенсирующим потенциально катастрофические последствия возможного коллапса трехмерной сферы, которых так бояться физики.

Прежде всего, что такое одномерная или нульмерная сфера? Будем рассуждать по аналогии. Двумерная сфера — это совокупность точек трехмерного пространства, расположенных на одинаковых расстояниях от выбранного центра, как показано на рис. 13.2 а. По аналогии с этим, одномерная сфера есть совокупность точек двумерного пространства, расположенных на одинаковых расстояниях от выбранного центра. Это просто окружность.

Рис. Сферы разных размерностей:

а) двумерная, 6) одномерная, в) нульмерная.

Наконец, согласно той же аналогии нульмерная сфера есть совокупность точек одномерного пространства (прямой линии), расположенных на одинаковых расстояниях от общего центра. Таким образом, аналогия с меньшим числом измерений, упоминавшаяся в предыдущем параграфе, приводит к окружности (одномерной сфере), которая стягивается, затем происходит разрыв пространства, и окружность замещается нульмерной сферой (двумя точками). Окружность в обхвате баранки (тора) коллапсирует в точку. Поверхность рвется, и образуются два прокола. В них «вклеивается» нульмерная сфера (две точки), которая замещает исходную одномерную сферу (окружность) и восстанавливает порванную поверхность. При этом становится возможным преобразование в фигуру совершенно иной формы — надувной мяч.

Предположим, что сначала имеется поверхность тора. Теперь представим, что с течением времени эта окружность стягивается, и структура пространства рвется. Можно восстановить пространство, «позволив ему разорваться лишь на мгновение и заменив сжатую одномерную сферу (стянутую окружность) нульмерной сферой — двумя точками, затыкающими отверстия в верхней и нижней части образовавшейся после разрыва фигуры. В итоге получится фигура, похожая на кривой банан, которую затем можно постепенно и гладко (без разрывов пространства) продеформировать в поверхность надувного мяча. В итоге мы видим, что при коллапсе одномерной сферы и замещении ее нульмерной топология исходного тора, т. е. его фундаментальная форма, радикально изменяется. После коллапса трехмерной сферы внутри пространства Калаби-Яу пространство должно разорваться, а затем само собой восстановиться путем отращивания двумерной сферы.

Вывод: при эволюции многообразия Калаби-Яу, сопровождающейся конифолдным переходом с разрывом пространства, изначально ненулевая масса черной дыры уменьшается до нуля, после чего черная дыра превращается в безмассовую частицу (подобную фотону), которая на языке теории струн описывается определенной колебательной модой струны. В теории струн впервые удается установить связь между черными дырами и элементарными частицами. Энтропия — это мера беспорядка или хаотичности, и в контексте последний научных достижение, доказано, что она за горизонтом черных дыр сохраняется.

Площадь горизонта событий черной дыры, т. е. площадь поверхности вокруг черной дыры, после пересечения которой нет пути назад, всегда увеличивается при любых физических взаимодействиях.

Если в черную дыру попадет астероид, или если на черную дыру попадет излучение с поверхности близкой звезды, или если две черные дыры столкнутся и объединятся, то полная площадь горизонта событий черной дыры обязательно увеличится.

Как только измерена масса, заряд и спин черной дыры, ее точную идентификацию можно считать завершенной.

Рис. Спиновая сеть, которая является состоянием квантовой геометрии в петлевой квантовой гравитации и связанных с ней теориях. Показаны кванты объема, ассоциированные с вершинами, и кванты площади, ассоциированные с ребрами.

Что удивительно картинка напоминает додекаэдр ПДИ, рассмотренный ранее.

После того, как за миллиарды лет ядерного синтеза звезда сжигает весь запас ядерного топлива, она оказывается неспособной далее компенсировать сжимающую громадную силу гравитации направленным наружу давлением. Для широкого класса условий это приводит к катастрофическому взрыву огромной массы звезды: под действием собственной силы тяжести она коллапсирует, образуя черную дыру.

Шелдон Глэшоу, убежденный противник теории струн, признался, что «когда струнные теоретики говорят о черных дырах, речь идет едва ли не о наблюдаемых явлениях, и это впечатляет»

Чтобы полностью предсказать то, что будет завтра, сегодня нам нужно знать все волновые функции. И если некоторые из них сгинули в омуте черной дыры, то содержащаяся в них информация потеряна.

Рассуждая философски, разве нельзя представить себе, что информация, которую переносили попавшие о дыру объекты, не потеряна для Вселенной, а просто скрыта в области пространства, которую мы, разумные существа, решили избегать любой ценой? Черные дыры не совсем черные и излучении черных дыр в переносит энергию, и поэтому при излучении черной дыры ее масса медленно уменьшается — дыра медленно испаряется. При этом расстояние от центра дыры до горизонта событий постепенно сокращается, и когда завеса отступает, прежде отрезанные от мира области снова оказываются на сцене космического бытия. Вопрос: восстановится ли информация, которую переносили проглоченные дырой объекты и которая, как мы представляли, хранится внутри черной дыры, после того, как черная дыра испарится?

Вся материя, пересекающая горизонт событий черной дыры, будет безвозвратно затянута к центру черной дыры, и с этого момента материя перестанет существовать — внутри черной дыры исчезнет само время. Физики, долгое время исследовавшие черные дыры с помощью уравнений Эйнштейна, открыли не укладывающуюся в голове возможность того, что черная дыра может быть окном в другую вселенную, связанную с нашей лишь в центре черной дыры.

Там, где останавливаются стрелки часов нашей Вселенной, начинается отсчет времени новой Вселенной.

Метод М – метод мембран Если на батуте никто не стоит, изображение выглядит нормально, но если на батут встает человек, изображение искажается, в особенности непосредственно под человеком (см. рис. 10.1).

Рис. Если на батуте с нанесенным изображением стоит человек, изображение сильнее всего искажается под весом тела человека Этот пример иллюстрирует важнейший принцип описания искривленных поверхностей, принятый в математической формулировке Римана.

Область вне поверхности лишь артефакт неадекватной картинки, которая не может изобразить U-образную вселенную иначе как погруженной в наш трехмерный мир.

Рис. «U-образная» вселенная, в которой достичь одного конца с другого можно лишь после длительного космического путешествия Черная дыра прокладывает новую пространственную территорию. Сильнейшее гравитационное поле черной дыры приводит к настолько сильной искривленности пространства, что оно выглядит проколотым в центре черной дыры. Перемещение из точки А в точку В по жёлтой линии займёт намного меньше времени, чем движение по красной линии. Создавать самостоятельно такие туннели в пространстве совсем не обязательно. Их (входы в них) можно искать уже в готовом виде, они могли возникнуть в самые ранние стадии эволюции Вселенной. Так, например, магнитные кротовые норы пронизывает очень сильное магнитное поле особой структурой. По которому их и надо искать. Электромагнитное поле является существенной или даже основной частью материи такой кротовой норы.

Волнующая возможность Внутри пространства Калаби-Яу находится сфера В теории струн рассматривают стягивание внутренняя часть тора или просто сферы в точку и затем с разрывом преобразование ее в сферу, или выворачивание в новую сферу. Однако в топологии в 4мерного это делается без разрывов.

Ниже преобразование одной сферы к другой по линейному закону 1-я грань (сфера) – 2-грань (сфера). Однако удивительно получили сферу (внутри) и 3-брану, обертывающую ее.

Пульсар «Краб» (справа) имеет явно обертывающую мембрану Ниже показаны удаленные две (из шести) грани Математики называют последовательность таких действий флопперестройкой. И, похоже, именно торовые поверхности (см. в Интернете Тороидальная Машина Времени) являются той «дорогой» по которой двигаются тела в нашей Вселенной. По ней же двигается и наша Вселенная. Сжатие внутренней сферы к точке позволяет сначала получать кротовые норы, а потом коллапсировать в точку-сферу с выходом в новое 3-мерное пространство. Почему в 3-мерное? Повидимому три координаты – обеспечивает минимальные затраты энергии 3-мерной мембраны - по принципу того, что капля воды при вращении приобретает 3-угольные очертания. Что произойдет в этом случае со Вселенной пока еще непонятно. Похоже, как было уже сказано, дыра образует новую Вселенную в бесконечно-мерном пространстве. Вселенская природа регулирует избыток материи выбросом ее в другое пространство. Человечеству при перенаселении, видать, в будущем надо поступить также: найти новую планету и переселиться на нее. Такие планеты есть, но они находятся очень далеко и только открытие кротовых нор, позволит преодолеть эти расстояния.

–  –  –

в жидком состоянии, а сила гравитации указывает на наличие атмосферы. Астроном Фогт дал ей название «Мир Зармины».

Встает вопрос, как добраться до этой планеты. Согласно некоторых теорий наша вселенная имеет U – образную форму.

Как должно быть искривлено (закручено) наше пространство, чтобы по туннелю черной дыры достичь планеты «Мир Зармины»?

Для этого надо многое знать. И еще не факт, что наше пространство закручено по ленте. Может быть оно является лентой Мебиуса (3мерной), тором, упакованного в мембрану и т.д.

Выводы. Согласно Теории Струн, Большой Взрыв не был началом образования Вселенной, а Космос, в свою очередь, существовал, и будет существовать всегда. В будущем он может коллапсировать вновь, но он никогда не исчезнет. Время же будет длиться постоянно.

Оно началось задолго до Большого Взрыва и будет существовать независимо от существования чего-либо другого. Время бесконечно...

Большой взрыв не был началом. Он был всего лишь следствием предыдущего состояния Вселенной… Кроме того можно сказать, что и пространство едино – оно бесконечно-мерно. В этом бесконечномерном пространстве могут существовать всякие другие искривленные и прочие разной размерности пространства. Отсюда и есть, что Всё относительно.

В теории Струн попытка описать даже нашу Вселенную натыкается на то, что каждый раз требуется увеличить размерность пространства. Это наподобие развязать узел веревки у которой концы сплетены, нужно выйти в 4-мерное пространство где эта проблема решается. Так и в теории струн, чтобы решить задачу с новыми возникающими проблемами, увеличивается размерность пространства.

Однако все должно быть просто, и такой путь увеличения пространства – это тупик. Однако нового физики пока ничего не придумали.

Вот если с помощью коллайдера и найдут черные дыры с выходом в другое 3-мерное пространство, здесь будет мощный прорыв. И такое пространство будет с учетом того, что наиболее энергосберегающим является 3-мерное пространство будет 6-мерным, как это и предполагалось первоначально в теории струн.

Рис. Два 3-мерных пространства в пространстве более пяти измерений могут пересекаться в точке (черной дыре) Между двумя 3-мерными пространствами вполне может оказаться аномальная точка (черная дыра) по которой эти пространства пересекаются. Черная дыра является началом образования новой Вселенной, своего рода Большим взрывом. Это может произойти в случае переизбытка создаваемой материи в первой Вселенной или от взрыва материи, собранной в черной дыре. Как известно, в черной дыре исчезают многие звезды. В некоторых случая при взрыве черной дыры они взрываются и вырываются в наше пространство (образуются сверхновые звезды), некоторые исчезают в другом пространстве, некоторые находятся в том и другом 3-мерных пространствах с образованием 4-х магнитных полюсов. С одной стороны наша Вселенная расширяется, а с другой сжимается, образуя черные дыры. Когда темная материя (черные дыры) перейдет в критическую, то она мгновенно начнет сжиматься, с выходом материи в другое пространство.

Произойдет как бы обновление всего, что было в первой Вселенной.

Конечно это только гипотеза, и что на самом деле будет или было, пока неизвестно.

Тема 13. Проектирование объектов 4D В системе «Вектор» есть возможность задавать тела, получаемые «развитием» поверхности во времени от одной грани к другой, где время (и получаемый чертеж), в принципе, адекватны 4-й координате (и чертеж) для 4-мерного пространства.

Смоделируем тела (1-я и 2-я грани - поверхности).

Грани строим из сферы (построенной как вращение полу-дуги), по определенному количеству линий по u и v.

–  –  –

Получаемые фигуры чем-то походи на фигуры Эшера, построение которых возможно только в 4-мерном пространстве.

Задавая число точек по u=4 и v=3 получим платоново тело – октаэдр.

Смоделируем гипертело между двумя октаэдрами.

–  –  –

Модно задать такое тело цилиндрическое (торы равны) и коническое (2-й тор уменьшаем).

Тор с мембраной внутри и снаружи Поверхности-тела 4D Куб в системе Вектор можно задать как линейчатую поверхность, у которой 1-я грань полилиния (полученная из круга); 2- грань – дублированная первая и сдвинутая на высоту куба.

Гиперкуб – это тело, у которого первая и вторая грани кубы

–  –  –

Некоторые из которых могут быть выключены и получены нормальные какие-то объекты, которые могут применимы, например, в строительстве в качестве форм.

–  –  –

Поворачивая ту или иную грань и удаляя в гипертеле ту или иную гипергрань, получаем самые неожиданные геометрические формы Дублируя, поворачивая гипертела можно еще разнообразить реестр получаемых форм Направляя две грани друг к другу получим что-то типа колонны Уменьшим 2-ю «рюмку-грань»

–  –  –

Объект в центре говорит о том, он как целое может быть раздельными, причем никак не связанные по форме друг с другом.

Интересные формы можно формировать через импортируемые линии из Corel. Например, через объект «обобщенный цилиндр».

Переход в другие миры Здесь уже 4 координаты, хотя выше мир 4-мерный, 4-я координаты идет в противоположную сторону оси Z.

В нашем пространстве «дыра» закрыта, в другом открыта Тема 14. Пентагональные свертки 14.1. 9-арканные свертки

Слова на эти цифры в системе «Векторе» могут быть:

Фотий Алина Ипатий Клементий Валерий Зоя Нинель Белла Любосмысл Нестор Сигизмунд Гремислав Лука Октябрина Любомира Глория Трифон Федосий Владлена Гордей.

Замыкающие линии 1-3, 3-9, 9-7, 7-1 ложатся на контур сферы.

Рис. Свертка изображена повернуто на 90 градусов вокруг оси х Чтобы получить пентагональную свертку, нужно точки 1-9 располагать (например, случайно) по 62 вершинам пентагонального додекаэдра-икосаэдра (ПДИ), координаты вершин которого известны.

.

–  –  –

Рис. Примеры кодирования фразы на ПДИ 9-арканной системы сверток Рис. Одно из преобразований в системе «Вектор» дает такую картинку с «треугольником» на участок Земли 14.2. 99-арканные свертки

–  –  –

Свертка по цифрам:

11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 29,39,49,59,69,79,89, 99, 98,97,96,95,94,93,92, 91,81,71,61,51,41,31,21,11,22,23,24,25,26,27,28, 38,48,58,68,78, 88,87,86,85,84,83,82, 72,62,52,42,32,22 Гея-Земля исполинская позаботиться 1913 струящий 1186 вал возможностью 1891 уж беседа Позвав бранил обвинил Семелу Взмахнув пристали старый месяца настаивает трупов прогневала рассказал коровой Скамандре пения оковах Эти зной жили Пал Раб неизвестным врасплох давал ила рада ИО 1998 Данае Всегда могла чреве угроз Паламеду Харибды дебрях Италию жрецы поняв богатый желчь Химера Близко Земли Ату Диана раба

Рис. Проекции точек сверток на сферу

Алгоритм построения точек на сфере следующий: задается центр сферы и на отрезках, проходящих из центра лучи через и точек сверток на плоскости, на которых откладывается радиус сферы; потом рисуются дуги через две точки.

Таким образом можно определить напряжение той или фразы через линии на сфере Пример 1.

2011 - год Белого Зайца, по китайскому календарю Год белого металлического кролика (кота, зайца) является 28 годом в цикле из шестидесяти лет, название которого можно дословно перевести как «кролик, выглядывающий из норы»

Свертка в цифрах 22 19 78 = ййамияуаэмивювяиажупзбщрауэрмэйзы = 11

Рис. 99-арканная сетка на плоскости и на сфере.

«Напряжение» фразы концентрируется к северу и востоку. Оно и правильно. Год Белого зайца по восточному календарю.

На шар предварительно можно наложить и карту той или иной местности или всего Земного шара. Сетка фразы, вступая в во взаимодействия с ядром планеты – пентагональным додекаэдром, начинает «работать».

Рис. Свертка на сферу Земли Сетку по сфере можно вращать, распределяя графическую матрицу по своему усмотрению, усиливая или уменьшая влияние фразы на тот или иной район, или наоборот выйти из аномальной зоны влияния данной фразы.

Резюме. Линии–дуги более сильные и напряженнее, чем прямые, они и связь с ядром планеты осуществляют – открывают порталы в другие пространства. В ночь на Новый год (особенно Старый Новый год) можно открыть дверь в общении с духами и прочей тварью запредельного мира. Чтобы получить пентагональную свертку на сферу, нужно 81 точек (11-99) располагать по 62 вершинам (оставшиеся 19 точек расположить повторно по вершинам додекаэдра) ПДИ (специальным образом совмещенного додекаэдра и икосаэдра). В случае 999–арканной (27х27) свертки 729 точек располагаем по 62 вершинам ПДИ.

Рис. Сетка сверток фразы на 2011 год в 999 арканном коде

14.3 Перезадание точек пентагонального додекаэдраикосаэдра из декартовых координат в сферические

–  –  –

Рис. Треугольник Москва – Кайлас - Владивосток

14.4. Мастер-класс. Задание магического квадрата из Кашмира на пентагональном додекаэдре-икосаэдре Рис. Окно дайдж-сверток в системе «Вектор»

Пушкин Александр Сергеевич

1.Властолюбие = 1; 2.Сексуальность = 3; 3.Хозяйственность = 2;

4.Контактность = 0; 5.Интуиция = 1; 6.Логика = 2;

7.Религиозность = 2; 8.Совесть = 1; 9.Глобальность мышления = 3;

Сумма по столбцам: Здоровье = 6; Интеллект = 3; Духовность = 6.

Сумма по строкам: Сила воли = 3; Эмоции = 5; Разум = 7.

Земное воплощение = 15.

Первая зрелость = 30; успех = 3.

Вторая зрелость = 26; успех = 8.

Баланс = 8:7

1 - нет тяги к власти.

4 - не контактен.

3 - средне хозяйственен.

5 - средняя интуиция.

7 - средне религиозен 8 - средняя совесть.

2 - хорошо сексуален.

9 - хорошая тяга к обобщениям.

2-й столбец: Интеллект хороший.

1-я строка: Воля хорошая.

2-я строка: Эмоциональность хорошая.

1-й столбец: Здоровье сверх отличное.

3-й столбец: Духовность сверх сильная.

3-я строка: Разум сверх высокий.

Линия 7-9 время почивать на лаврах.

Линия 1-7 хорошая карма.

Линия 2-8 человек маг.

Линия 3-9 есть карма будущего.

Линия 2-3 счастливая юность.

Линия 7-9 хорошее будущее.

Линия 7-9 хорошее будущее.

1 - утонченный эгоист (только я должен жить, я, я, я,) 222 - хороший экстрасенс, этих людей любит противоположный пол 33 - способность к точным наукам 5 - канал открытый, эти люди делают меньше ошибок 66 - очень заземленный, любит работать в саду и с растениями 77 - человек музыкален, имеет художественный вкус, может рисовать. Для него не будет закрытых дверей, если он не будет эгоистом, который думает только о себе 8 - пунктуальность, человек с развитым чувством долга 999 - человек умный от природы (все дается).

линия 8-2 наиболее сильная сексуальная энергия для пробуждения энергии космоса - Кундалини

15. Скрипты на базе JS и макропрограммирования в «Векторе», реализованные на сайте http://vm.msun.ru/

1.1. Модель 4-мерного пространства: 4D-аксонометрия.

1.2. Модель 4-мерного пространства: разнесенные 3D аксонометрические и 2D ортогональные координатные плоскости проекций.

1.3. Модель 4-мерного пространства: ортогональный чертеж (оптимальный вариант).

1.4. Модель 4-мерного пространства: ортогональный чертеж (из 5 проекций).

2.1. Точка. 4D-аксонометрия.

2.2. Точка. Разнесенные 3D аксонометрические и 2D ортогональные проекции.

2.3. Точка. Орто-ортогональный чертеж (оптимальный вариант).

2.4. Точка. Ортогональный чертеж (еще более оптимальный вариант проекций).

2.5. Точка. Ортогональный чертеж (3 проекции).

3. Прямая. Ортогональный чертеж.

4. Плоскость. Ортогональный чертеж.

5. Гиперплоскость. Ортогональный чертеж.

6. Прямая перпендикулярна гиперплоскости, если она перпендикулярна трем пересекающимся прямым, лежащей в этой гиперплоскости. Три такие прямые могут быть: дважды фронталь, дважды горизонталь, и дважды xt-уровня.

7. Гиперкуб: 4D-аксонометрия (твердотельный рис., где ребра цилиндры, выполнен в системе «CG-Вектор»).

Приложение 1: НГМП для моделирования поверхностей здесь

Приложение 2. Сакральная геометрия:

Скрипт. Расчет и развертка сакральной пирамиды.

Cкрипт: Расчет сакральной силы пирамиды в зависимости от ее высоты.

Cкрипт: Сакральный тетраэдр (расчет и развертка) Cкрипт: Сакральная «стелла октангула»

Cкрипт: Октаэдр Cкрипт: Додекаэдр Cкрипт: Икосаэдр Cкрипт: Кубоктаэдр Cкрипт: Гипергексаэдр (гиперкуб) Cкрипт: Гипертетраэдр Cкрипт: Гиперстелла октангула Cкрипт: Сакральная пирамида в 7-мерном пространстве - 5 вершин в разных 3-мерных подпространствах.

Cкрипт: Туристическая палатка сакральная.

Начертательная геометрия многомерного пространства (НГМП) и ее приложения

1.1. Модель 4-мерного пространства: 4D-аксонометрия.

1.2. Модель 4-мерного пространства: разнесенные 3D аксонометрические и 2D ортогональные координатные плоскости проекций.

1.3. Модель 4-мерного пространства: ортогональный чертеж (оптимальный вариант).

1.4. Модель 4-мерного пространства: ортогональный чертеж (из 5 проекций).

2.1. Точка. 4D-аксонометрия.

2.2. Точка. Разнесенные 3D аксонометрические и 2D ортогональные проекции.

2.3. Точка. Орто-ортогональный чертеж (оптимальный вариант).

2.4. Точка. Ортогональный чертеж (еще более оптимальный вариант проекций).

2.5. Точка. Ортогональный чертеж (3 проекции).

3. Прямая. Ортогональный чертеж.

4. Плоскость. Ортогональный чертеж.

5. Гиперплоскость. Ортогональный чертеж.

6. Прямая перпендикулярна гиперплоскости, если она перпендикулярна трем пересекающимся прямым, лежащей в этой гиперплоскости. Три такие прямые могут быть: дважды фронталь, дважды горизонталь, и дважды xt-уровня.

7. Гиперкуб: 4D-аксонометрия (твердотельный рис., где ребра цилиндры, выполнен в системе «CG-Вектор»).

8. Две плоскости в общем случае пересекаются в точке (теория).

9. Модель 7-мерного пространства x,y,z,y1,y2,z1,z2, как основа моделирования формы поверхности на заданном контуре (алгоритм решения задачи на примере одной точки).



Pages:   || 2 |


Похожие работы:

«К Августу Грациану три книги о Святом Духе Пролог Глава 1 Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 Глава 7 Глава 8 Глава 9 Глава 10 Глава 11 Глава 12 Глава 13 Глава 14 Глава 15 Глава 16 Примечания Введение Содержание Пролог Глава 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Трактат "О С...»

«VASH DOSUG http://www.vashdosug.ru/spb/cinema/article/70061/ Из Венеции в Петербург 5 марта 2013 г. С 14 по 18 марта в "Доме кино" пройдет фестиваль "Из Венеции в Петербург", где будут показаны итальянские фильмы...»

«СУДЕБНИК 1550 г. Перевод В.Б. Цыганова Введение В июне месяце 1550 г. царь и Великий Князь всея Руси Иван Васильевич со своими детьми и боярами этот Судебник утвердил: как судить боярам и окольничим, и дворецким, и казначеем, и дьякам и всяким приказным людям, и по городам наместникам, и по волостям волостелям, и их тиун...»

«ООО Аналитик-ТС Анализатор систем передачи и кабелей связи AnCom А-7 РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ 4221-009-11438828-03РЭ4 Часть 4. Абонентские цифровые линии с медными жилами. Требован...»

«Виктор Андриянов Гусейнбала Мираламов ГЕЙДАР АЛИЕВ МОСКВА МОЛОДАЯ ГВАРДИЯ Жизнь ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ЛЮДЕЙ Серия биографий Основана в 1890 году Ф.Павленковым и продолжена в 1933 году М.Горьким ВЫПУСК _ (932) ББК 63.3(...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ СК РГУТиС УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА" Лист 1 из 19 © РГУТиС ...»

«СЕКРЕТЫ МЕН ЕДЖМЕНТА АВТОМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ Москва ИНФРА-М УДК 658.5 ББК 65.209 А 18 Авторы: Баронов В. В. Калянов Г.Н., д-р техн. наук Попов Ю.И., канд. экон. наук Рыбников А.И., канд. экон. наук Тит...»

«Аналитический отчет В настоящем аналитическом отчете рассматриваются факторы, лежащие в основе кредитного рейтинга (кредитных рейтингов) и ее следует использовать в сопоставлении с нашим Мнением о кредитоспособности. Самые последние рейтинги, мн...»

«ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОРГОВЫХ ЦЕНТРОВ PORTNER НАГРАДЫ премия лауреат победитель архитектурного конкурса “Качественная архитектура 2010” Национальной премии “Самый красивый дом в области архитектуры и девелопмента с кирпичным фасадом 2008” ARX AWARDS 2007 победитель архитектурного конкурса архитектурная премия победитель “Загородный дом ХХI в...»

«50. ОЛОВО Обладая магическим числом протонов (50), олово имеет наибольшее число стабильных изотопов (10). Трудности модельного описания сечений при энергии ниже нескольких МэВ обусловлены низкой плотностью уровней и большой флуктуацией ширин нейтронных резонансов, часть из кото...»

«51.3614/1 AKM 115S: Приводы для шаровых клапанов с SUT Область применения Для управления 2-х и 3-х ходовыми шаровыми клапанами серии VKR и BKR. Для контроллеров с последовательным выходом (0-1...»

«ХЬЮМАН РАЙТС ВОТЧ АПРЕЛЬ 2004 Г. Т. 16, № 3(D) ПОЛИТИЧЕСКИЕ СВОБОДЫ В КАЗАХСТАНЕ Содержание КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Выборы 1999 г "Казахгейт" ДВК ВЫБОРЫ Довыборы в парламент в декабре 2002 г Перспективы свободных и...»

«ISSN 1024-588X. Вiсник Львiвського унiверситету. Серiя фiзична. 2012. Випуск 47. С. 96-104 Visnyk of the Lviv University. Series Physics. 2012. Issue 47. P. 96-104 УДК 535.37:548.736 PACS 61.46.+w, 72.20.-i, 73.22.-f,78.60.Mq ВПЛИВ КОНТАКТIВ НА ФОТОЕЛЕКТРИЧНI ТА ЛЮМIНЕС...»

«УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ Администрации города Лобня Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение комбинированного видаДетский сад № 2 "Полянка" 141730, Московская область г. Лобня ул. 9 Квартал д. 3 Тел. 8(495) 579-43-90 ОКПО 13380234, ОГРН 1025003081993, ИНН/КПП 5025014460/502501001 Проект, посвященный 70-летию Великой Поб...»

«Резервируемая Параллельная Архитектура (РПА) В тех случаях, когда ИБП серий LP, SitePro или SG используются для электропитания критичных приложений, защиты, обеспечиваемой одиночным устройством, как правило, недостаточно. Для удовлетворения требований повышения уровня надежн...»

«ООО АМТОРГ +7(4722)40-00-02 amtorg.com.ru.ru om.c rg УСТРОЙСТВО СБОРА ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ УСДМ-01 to am РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ ААПЦ.424334.001 РЭ ООО АМТОРГ +7(4722)40-00-02 amtorg.com.ru.ru ВНИМАНИЕ! До...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича" Архангельский колледж телекоммуникаций (филиал) федерального государстве...»

«Вступительная строфа из "Абхисамаяланкары" Майтреи/Асанги, посвященная Праджняпарамите Простираюсь перед Матерью Будд, шравак и бодхисаттв, Которая знанием всех [основ] приводит к полному успокоению ищущих умирот...»

«1001 вопрос по поводу логической структуры пословиц А. Крикманн (Неопубликованный оригинал переводной статьи: 1001 Frage zur logischen Struktur der Sprichwrter. Semiotische Studien zum Sprichwort. Simple Forms Reconsidered I. Special Issue of Kodikas/Code – Ars Semeiotica. An International Journal of...»

«SPECTRA 1727 ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ООО "ТЕОС-ПМД" официальный дистрибьютор компании Paradox Security Systems 193029, Санкт-Петербург, ул. Бабушкина, д.3, оф. 304а, тел. 812 567-2137, факс 567-1921, e-mail sale@teos.ru http://www.teos.ru Перевод ЗАО "ТЕОС". 2000г. ООО "ТЕОС-ПМД" официальный дистри...»

«ДОБРО 29 марта 2013 г. пятница № 10 (997) ОБЪЕКТИВНО О ГЛАВНОМ 16+ ИНФОРМАЦИОННО ДЕЛОВОЙ ЕЖЕНЕДЕЛЬНИК АКТУАЛЬНО В се подрядные организа ШАГ К УСПЕХУ ции, систематически до пускающие нарушение стр. 2 – 3 норм и правил по охране труда, могут оказаться в "черном спис ке" ОАО "СН МНГ". Об этом на со вещании с руководителями пред...»

«Збірка наукових праць. Випуск 22, 2015 УДК 614.8 В.И. Кривцова, д.т.н., профессор, НУГЗУ, Ю.П. Ключка, д.т.н., ст. научн. сотр., НУГЗУ, А.И. Тарариев, адъюнкт, НУГЗУ ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕДОТВРАЩЕНИЯ РАЗВИТИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНОЙ СИТУАЦИИ АВАРИЙНОСП...»

«Электроснабжение промышленных предприятий Типовые магистральные схемы При магистральных схемах электроэнергия подается от основного энергетического узла или центра питания предприятия (ТЭЦ, ГПП) непосредственно к цеховым РТП...»

«Сатып Алу Апарат Аптасына 5 рет шыады Выходит 5 раз в неделю азастан Республикасыны бар аймаында таралады Распространяется по всей территории Казахстана №233 (233) от 19.12.2013 г Общественно-политическая и рекламно-информационная газета www.satypalu.kz В н у т р е н н я я тет р а д ь : о бъ я в л...»

«Закрытое акционерное общество "Северозападная независимая энергосбытовая компания" 2012   ИНФОРМАЦИЯ   РАСКРЫВАЕМАЯ В СООТВЕТСТВИИ СО СТАНДАРТАМИ  РАСКРЫТИЯ ИНФОРМАЦИИ СУБЪЕКТАМИ ОПТОВОГО  И РОЗНИЧНЫХ РЫНКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ  (Утв. Постановлением Правительства Российской Федерации от 21 я...»

«Том 7, №2 (март апрель 2015) Интернет-журнал "НАУКОВЕДЕНИЕ" publishing@naukovedenie.ru http://naukovedenie.ru Интернет-журнал "Науковедение" ISSN 2223-5167 http://naukovedenie.ru/ Том 7, №2 (2015) http://naukovedenie.ru/index.php?p=vol7-2 URL статьи: http://naukovedeni...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.