WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 


«§ 1. Монотонные функции Всюду далее предполагается, что f действительнозначная функция, определённая на некотором невырожденном промежутке X. Промежуток X может ...»

Монотонность, выпуклость и неравенства, стр. 1 из 4

§ 1. Монотонные функции

Всюду далее предполагается, что f действительнозначная функция, определённая на

некотором невырожденном промежутке X. Промежуток X может быть сегментом, интервалом, полуинтервалом, замкнутым лучом, открытым лучом, всей прямой. Через int(X)

будем обозначать внутренность (множество внутренних точек) множества X. Например,

если X = [a, b], то int(X) = (a, b).

Разделённые разности первого порядка. Для любых различных точек x1, x2 X положим f(x1 ) f(x2 ) f (x1, x2 ) =.

x1 x2 Проверить, что f(x1 ) f(x2 ) f (x1, x2 ) = +, x1 x2 x2 x1 и f (x1, x2 ) не меняется при перестановке аргументов x1 и x2.

Критерий возрастания в терминах разделённых разностей.

Следующие условия равносильны:

(a) f нестрого возрастает на X;

(b) f (x1, x2 ) 0 для любых различных x1, x2 X.

Подумать о геометрическом смысле этого критерия (наклон хорды).

Неравенство Лагранжа (Lagrange) для конечных приращений. Пусть f непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).

(1) Если f (x) M для любого x (a, b), то f (a, b) M.

(2) Если f (x) M для любого x (a, b), то f (a, b) M.

Рекомендуется доказать эти утверждения без использования теоремы Лагранжа.

Правая производная как предел производных. Пусть f непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), причём lim f (x) = A, где A R. Используя неравенства Лагранжа xa+0 для конечных приращений, доказать, что правая производная функции f в точке a существует и равна A.

Критерий возрастания в терминах производной. Пусть f непрерывна на X и дифференцируема на int(X). Тогда следующие условия равносильны:

(a) f нестрого возрастает на X;

(b) f (x) 0 для любого x int(X).

Строгое возрастание, убывание. Сформулировать и доказать критерии того, что функция строго возрастает; нестрого убывает; строго убывает.

Доказательство неравенств с помощью монотонности. Подбирая подходящие монотонные функции, доказать неравенства:

(1) ex 1 + x при x 0;

(2) ln(1 + x) x при x 0;

(3) ab ba при e a b;

(4) (1 + x)p 1 + px при x 1, p 1;

(5) (1 + x)p 1 + px при x 1, 0 p 1;

(6) | sin x| |x| для любого x R (достаточно доказать для любого x [0, ]).

Монотонность, выпуклость и неравенства, стр. 2 из 4 § 2. Выпуклые функции Деление отрезка в заданном отношении. Пусть a, b R, [0, 1]. Найти такую точку x [a, b], которая делит отрезок [a, b] в отношении (1 ) :. Указание: составить отношение длины [a, x] к длине [x, b] и выразить x. Чему равно отношение длины [a, x] к длине [a, b]?

Координаты точки на хорде графика. Пусть a, b X, [0, 1]. Точка (x, y) лежит на отрезке, соединяющем точки графика функции f с абсциссами a и b. Найти y, если x = a + (1 )b.

Определение выпуклой функции. Функция f : X R называется выпуклой, если для любых x1, x2 X и любого [0, 1]

–  –  –

Неравенство Йенсена (Jensen). Пусть x1,..., xn X, 1,..., n 0 и 1 +... + n = 1.

Тогда точка 1 x1 +... + n xn называется выпуклой комбинацией точек x1,..., xn. Предполагая, что f выпукла на X, доказать, что

–  –  –

Вывести отсюда, что f (x1, x2, x3 ) не меняется при перестановках аргументов.

Критерий выпуклости в терминах разделённых разностей. Следующие условия равносильны:





(a) f выпукла на X;

(b) для любого x1 X величина f (x1, x2 ) нестрого возрастает по x2 ;

( c ) f (x1, x2, x3 ) 0 для любых попарно различных x1, x2, x3 X.

Критерий выпуклости в терминах хорд (секущих). Через Gf (x) будем обозначать точку графика функции f с абсциссой x.

Следующие условия равносильны:

(a) f выпукла на X;

(b) для любых x1, x2, x3 X, таких, что x1 x2 x3, точка Gf (x2 ) лежит не выше прямой, проходящей через Gf (x1 ) и Gf (x3 );

( c ) для любых x1, x2, x3 X, таких, что x1 x2 x3, точка Gf (x3 ) лежит не ниже прямой, проходящей через Gf (x1 ) и Gf (x2 );

Монотонность, выпуклость и неравенства, стр. 3 из 4 (d) для любых x1, x2, x3 X, таких, что x1 x2 x3, точка Gf (x1 ) лежит не ниже прямой, проходящей через Gf (x2 ) и Gf (x3 ).

Непрерывность выпуклой функции. Пусть f выпукла на X, и x0 int(X). Доказать, что f непрерывна в точке x0. Указание: рассмотреть такие вспомогательные точки x1, x2 X, что x1 x0 x2. Между какими прямыми заключён график функции f?

Используя неравенство Лагранжа для конечных приращений, доказать следующий критерий:

Критерий выпуклости в терминах производной. Пусть f непрерывна на X и дифференцируема на int(X). Доказать, что следующие условия равносильны:

(a) f выпукла на X;

(b) f нестрого возрастает на int(X);

( c ) график функции проходит не ниже любой касательной, проведённой в точках из int(X).

Критерий выпуклости в терминах второй производной. Пусть f непрерывна на X и дважды дифференцируема на int(X).

Тогда следующие условия равносильны:

(a) f выпукла на X;

(b) f 0 на int(X).

Пользуясь этим критерием, доказать выпуклость следующих функций: f(x) = ex (экспонента), f(x) = ln x, f(x) = xp (x 0, p 1).

Строгая выпуклость. Функцию f : X R называют строго выпуклой на X, если для любых x1, x2 X и любого (0, 1)



Похожие работы:

«Сергей Викторович Соболев Мясорубка Издательский текст http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=644635 Мясорубка: Эксмо; М.; 1997 ISBN 5-251-00249-1 Аннотация Разведчик в отставку не выходит. Отставкой для него является смерть...»

«РОССИЯ ОАО "ЧУВАШТОРГТЕХНИКА"Э ЛЕ К ТР И ЧЕС К И Е АП П АР АТ Ы К ОН Т АК ТН О Й ОБ Р АБ ОТ К И т и п а АКО Паспорт и руководство по эксплуатации ЧЕБОКСАРЫ 2011 АКО с. 2 1 НАЗНАЧЕНИЕ Электрический аппарат контактной обработки типа АКО, предназначен для приготовления пищи путем непосредственного контакта греющ...»

«Взгляд на мировой джихад (11 – 18 мая 2016 г.) Основные события недели n На этой неделе организации ИГИЛ были нанесены еще два весомых удара в важном стратегическом пространстве, расположенном в треугольнике границ Ирака, Сирии и Иордании. 17-го мая 2016 г. иракская армия сооб...»

«Универсальная тестовая платформа BERcut-SDH(M) Модульная платформа следующего поколения, универсальное компактное и современное решение для тестирования транспорта (OTN, SDH, SONET, PDH), мобильных транзитных и Ethernet, магистральных сетей. Особенности платфо...»

«ВНУТРЕННИЙ ПРЕДИКТОР СССР Комментарий к документу ОСНОВЫ КОНЦЕПЦИИ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ (За подписью А.М.Иванов 25 июля 1996 г.) Комитета по вопросам геополитики Государственной Думы России. Семи...»

«МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ руководящих работников и специ...»

«АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ АВИАЦИИ И КОСМОНАВТИКИ – 2015. Том 1 Секция "ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ" УДК 629.78.002.3 РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИИ НАНЕСЕНИЯ МДО-ПОКРЫТИЙ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ЭЛЕМЕНТОВ КО...»

«АДМИНИСТРАЦИЯ СУЗУНСКОГО РАЙОНА НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ КАЛЕНДАРЬ ПАМЯТНЫХ ДАТ СУЗУНСКОГО РАЙОНА 2015 год Новосибирск Дубовицкий А. В. (Глава Сузунского района) РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: Теряев В. К. (Председатель Совета депутатов Сузунского района) Кокунова И. В. (заместитель главы администрации Сузунского района, начальник управления образования админ...»

«В. Л. Павлов ФИЛОСОФСКАЯ ЦЕННОСТЬ "РУССКОЙ ПРАВДЫ" ПАВЛА ПЕСТЕЛЯ Одной из особенностей декабристского движения в России в первой четверти XIX в. было повышенное внимание его организаторов и руководителей к разработке программных документов тайных декабристских обществ. Они разные по объему и содержанию. Не все из них сохранились. Два мате...»

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ СУД Дело № 33-7270 В суде первой инстанции дело рассмотрела судья Костюченко С.А. АПЕЛЛЯЦИОННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Судебная коллегия по гражданским делам Хабаровского краевого суда в составе: председательств...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.