WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 

«Многообразия + дифформы (обзорно) Многообразия Def 1. Картой в топологическом пространстве M будем называть пару (U, ), где U - открытое множество в M, а : ...»

Многообразия + дифформы (обзорно)

Многообразия

Def 1. Картой в топологическом пространстве M будем называть пару

(U, ), где U - открытое множество в M, а : n U - гомеоморфизм.

Таким образом в множестве U вводятся координаты при помощи соответствия x U : x 1 (x) n

Def 2. Карты (U, ) и (V, ) в M будем называть C r согласованными,

если выполнено одно из условий:

1. U V =

2. U V =, и гомеоморфизм 1 : 1 (U V ) 1 (U V ) является

C r -диффеоморфизмом.

Def 3. Множество карт {(U, )} в M называется C r -атласом или атласом класса C r, если любые две карты C r -согласованны и U = M Замечание 1. Размерность евклидова пространства из которого действуют, предполагается одной и той же.

Def 4. Два C r -атласа {(U, )}, {(V, )} называются эквивалентными, если их объединение является C r -атласом.

Задача 1. Покажите, что введное таким образом отношение, действиe тельно является отношением эквивалентности.

Def 5. Класс эквивалентности C r -атласов на M называется C r -структурой на M.

Def 6. Топологическое хаусдорфово пространство M со 2ой аксиомой счтности и с заданной на нм C r -структурой называется C r -многообразием, e e а размерность пространства n из которого действуют гомеоморфизмы карт, называется размерностью C r -многообразия.

Замечание 3. Задать C r -структуру можно, например, фиксировав один из атласов.

Если гомеоморфизмы 1 являются аналитическими функциями, то говорят об аналитических многообразиях, если просто дифференцируемыми, то о дифференцируемых многообразиях, если они только лишь непрерывные, то о топологических.

В определении карты у нас участвует n Понятно, что вместо последнего можно взять любое диффеоморфное ему множество. Например открытый единичный шар или куб.

n n Задача 2.Постройте явно диффеоморфизм переводящий в а) D = {x n : |x| } б) I = {x n : 0 xi, i = 1..n} n В дальнейшем, если нам будет удобно, то мы будем рассматривать такие обобщнные карты.

e Следующее замечание касается гладкости C r -структур. Если мы говорим про топологическое многообразие, то очевидно C 0 структура задатся e на нм однозначно. В общем же случае мы можем завести на одном и том e же топологическом пространстве разные гладкие структуры.

Например:

Задача 3. Покажите, что аталасы {(, 0 )},.

., {(, k )},..

k (x) = x2k+1, k = 0, 1,..

задают на 1 разные C структуры. Поэтому формально мы безусловно должны фиксировать определнную гладкую структуру. В дальнейшем мы

–  –  –

Доказательство: непосредственно следует из теоремы о неявной функции.

Поскольку локально M можно задать как график, то и аталас на нм e определяется естественным образом.

Последние несколько примеров многообразий представляли собой поверхности в n. Это не случайно. Дело в том, что многообразия в смысле даного выше определения могут быть реализовоны как поверхности в евклидовом пространстве достаточно высокой размерности. Точная формулировка последнего утверждения будет дана ниже.

5.Другой класс примеров многообразий доставляет конструкция произве дения многообразий. Итак, пусть M m и N n - два C r многообразия, тогда на топологическом произведении M N можно естественным путм ввести e структуру C r -многообразия размерности m + n. Например n-мерный тор T n есть произведение n окружностей: T n = S 1... S 1 Задача 4. Опишите как устроена гладкая структура на прямом произведении.

6. Проективные пространства P n и CP n. Рассмотрим совокупность всех ненулевых векторов пространства n+1,и будем считать, что векторы y и y, где, = 0 эквивалентны. Соответствующие классы эквивалентности называются точками проективного вещественного пространства

P n. Альтернативное определение: рассмотрим сферу S n := {y Rn+1 :

n yi = 1} будем считать две точки эквивалентными, если они диаметi=0 рально противоположны. Фактор пространство по этому отношению вновь приводит к P n.

Задача 5. Опишите, как устроена фактор топология в обоих случаях и убедитесь в гомеоморфности обоих конструкций.

Введм явно структуру многообразия. Рассмотрим P n, как множество e прямых L в n+1. Каждая прямая пересекает одну или несколько гиперплоскостей вида xj = 1. Зафиксируем одну из таких плоскостей xi = 1 и выделим из L совокупность Ui всех прямых, пересекающихся с гиперплоскостью xi = 1. Тогда положение прямой из Ui определяется декартовыми координатами (z1,..., zi1, 1, zi, zn ) е точки пересечения с гиперплоскостью e xi = 1. Координаты (z1,..., zi1, zi, zn ), естественно принять за координаты прямой. Координаты z называются проективными координатами. Имеем гомеоморфизм i (l) = (z1,..., zi1, zi, zn ) : Ui n Задача 6. Убедиться, что n + 1 введные карты образуют бесконечноe гладкий атлас.

P 1 = S1.

Задача 7. Доказать Комплексное проективное пространство CP n определяется аналогично : Есть C n+1, отождествим два вектора, если один получается из другого умножением на C, получим множество комплексных прямых.

7. Матричные группы. GL(n, ) - группа обратимых матриц, SL(n, ) - обратимые, с опред равным 1, O(n, ), U (n), SU (n) - все они могут быть реализованы как поверхности n2 2 и 2n в Def 7. Расширим определение многообразия до определения многообразия с краем, позволив гомеоморфизмам карт действовать не только из n, но и из H n = {x n : x1 0}.

Наозвм точками края, точки соответствующие H n, последнее корe ректно в силу теоремы Брауэра, говорящей, что гомеоморфизм между областями n переводит внутренние точки во внутренние.

Множество точек края, само образет многообразие.

Def 8. Будем говорить, что многообразие ориентируемо, если существует такой атлас, что все функции перехода между картами имеют положительный якобиан.

Def 9. Если A(M ) = {(H n, i, Ui )}{ n, j, Uj }- ориентирующий многообразие M атлас, то A(M ) = { n1, i |H n = n1,Ui } есть ориентирующий атлас края M многообразия M. Задаваяемая этим атласом ориентация края называется ориентацией края, согласованной с ориентацией многообр азия.

Отображение многообразий.Тензоры Def 10. Отображение гладких многообразий f : M N имеет класс гладкости C k, если по отношению к гладким локальным координатам {xi } на M и {y j } на N оно задатся вектор-функцией (y 1,..., y n ) = f (x1,..., xm ) e класса гладкости C k Def 11. Многообразия M и N называются диффеоморфными, если такие гладкие биективные f : M N и g : N M, что они взаимообратны.

Def 12. Многообразие M k называется вложением в N l, k l с помощью гладкого отображения f, если ранг якобиана отображения f при любом x M k равен k и отображение f взаимно однозначно отображает M k на f (M k ) Th Уитни.Каждое гладкое многообразие M n может быть вложено в пространство 2n+1 Def 13. Касательным к M в точке x вектором v называется класс эквивалентных кривых, выходящих из x.Причм кривые 1 (t) и 2 (t), такие e что 1 (0) = 2 (0) = x считаются эквивалентными,если в какой-то карте (U, 1 ),x U выполнено равенство d(1 (t)) |t=0 = d(2 (t)) |t=0 dt dt Легко убедиться, что определение корректно, то есть кривые эквивалентные в какой-то локальной системе координат, эквивалентны и в других.

Задача 7.Убедитесь.

–  –  –

С базисом ei1...eik ej1... ejl Тогда его векторы будут называться тензорамми типа (k, l).Следует сделать одно уточнение: когда мы говорили о векторном законе преобразования, то мы подразумевали все возможные замены координат, в принципе же можно говорить о векторном законе преобразования относительно какой-то группы преобразований, которая будет подруппой группы всех преобразований.Возвращаясь к определению тензора, отметим, что здесь

–  –  –

Задача 11 Показать, что d2 = 0 Задача 12 Показать, что d(1 2 ) = d1 2 + (1)p 1 d2, где 1 p-форма, 2 - q-форма Def 18. Дивиргенция = 1 d

Задача 13 Узнать уравнения Максвелла:

–  –  –

Это действие для свободной релятивистской бозонной струны, называется действием Намбу-Гото.

Вернмся к дифференциальным формам и сформулируем важную теоe рему Стокса.

Def 20.

Пусть M -n-мерное гладкое ориентированное многообразие, на котором координаты x1,..., xn и ориентация задаются одной картой x :

–  –  –

где слева стоит определнный интеграл от формы по ориентированному e многообразию M, а справа - интеграл от функции a(x) по области Dx.

Пусть имеется другая карта, составляющая атлас и соответствующая ей замена координат x = (t). Тогда ей соответствует форма

–  –  –

Def 24. Пусть = {U, B} - открытое покрытие множества X M.

Говорят, что разбиение единицы E = {e, A} на X подчинено покрытию, если носитель любой функции e содержится по крайней мере в одном из множеств системы.

Th. Пусть {(Ui, i ), i = 1,..., m} - конечный набор карт некоторого kгладкого атласа многообразия M, районы Ui действия которых образуют покрытие компакта K M.Тогда на K существует разбиение единиы, подчиннного покрытию {Ui } e Def 25. Пусть - финитная форма степени n на n-мерном гладком многообразии M, ориентированном атласом A. Пусть i : Di Ui {(Ui, i ), i = 1,..., m} - конечный набор карт атласа A, районы Ui действия которых покрывают supp, а e1,..., ek - подчиннное этому покрытию разбиение единиe цы на supp. Повторяя некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что m = k, и что suppei Ui, i = 1,..., m

–  –  –

где (ei ) - координатное представление формы ei |Ui в области Di измеi нения координат соответствующей локальной карты.

Можно проверить, что определение коректно определено и не зависит от выбранного атласа.

Th. Формула Стокса.

Пусть M - ориентированное гладкое n-мерное многообразие и - гладкая финитная дифференциальная форма степени n 1 на нм. Тогда e = d M M где ориентация края M многообразя M бертся согласованной с ориентаe цией многообразия M. Если же M =, то M d = 0 Задача 14. Получить как частные случаи, известные из матанализ формулы Ньютона-Лейбница,Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса.

Все пропущенные моменты можно восстановить по книгам: Б.А.Дубровин,

Похожие работы:

«Программа секции "Волейбола" Ожидаемые результаты.После окончания реализации программы внеурочной деятельности по спортивнооздоровительному направлению “Волейбол” учащиеся смогут получить знания: 1. Теоретические и методические основы системы физического воспитания.2. Техни...»

«Руководство пользователя версия 1.1 DIR-655 Оглавление Комплект поставки..4 Системные требования.4 Введение..5 Оглавление Комплект поставки Маршрутизатор D-Link DIR-655 Xtreme N™ • • 3 съемные антенны • Адаптер питания • Кабель...»

«Конвенция о договоре международной дорожной перевозки грузов (КДПГ) Заключена в Женеве 19.05.56 (Вступила в силу для СССР 01.12.83) Статус: Действует ПРЕАМБУЛА Договаривающиеся стороны, признав желательность внесения единообразия в условия договора международной перевозки грузов по дорогам и, в частности,...»

«Домашнее творческое задание представляет собой работу творческого характера, выполненную к началу экзаменационной сессии.Отличительными особенностями выполнения ДТЗ являются: высокая степень самостоятельности;формулирование проблемы и круга вопросов для ее решения,...»

«К 60-летию со дня рождения Бориса Акунина (Литературный псевдоним) Имя при рождении: Григорий Шалвович Чхартишвили (20 мая 1956 года) Григорий Шалвович Чхартишвили родился 20 мая 1956 года (Зестафони Грузинская ССР, СССР) – русский писатель, учёный-японист, литературовед, переводчик, общественный деятель. Публиковал...»

«Глава 2. Организация компьютерных систем Цифровой компьютер состоит из связанных между собой процессоров, модулей памяти и устройств ввода-вывода. Глава 2 призвана познакомить читателя с этими компонентами и с тем, как они взаимосвязаны. Данная информация послужит основой для подробного рассмотрения...»

«Рентгеновские лучи короткие электромагнитные волны; Гамма-лучи электромагнитные волны, подобные рентгеновским, но несколько меньшей длины; Нейтроны тяжелые незаряженные частицы, основа ядер атомов; Электроны легкие отрицательно зар...»

«Содержание Введение Схема сети Оптимальный путь Типы версий таблицы Начальный номер версии таблицы Условия для разнообразия в версии таблицы BGP Использование версии таблицы...»









 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.