WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

«Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения Российский государственный педагогический университет им. А.И. ...»

Санкт-Петербургский государственный университет

кино и телевидения

Российский государственный

педагогический университет им. А.И. Герцена

_________________________________________________________

А.И. Ходанович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НА КОМПЬЮТЕРЕ

Сборник задач и упражнений

Санкт-Петербург

Печатается по решению кафедры

УДК 53

математического моделирования

Х 69

СПбГУКиТ и кафедры методики обучения физике РГПУ им.

А.И. Герцена

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор И.Н.Щитов (Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения) Х69 Ходанович А.И.

Математическое моделирование на компьютере. Сборник задач и упражнений.– СПб.: Изд-во СПбГУКиТ, 2009.- 118 с.

Сборник задач и упражнений представляет собой практический курс математического моделирования на компьютере. В сборнике приводятся демонстрационные примеры и слайды программ, иллюстрации и комментарии.

Учебное пособие можно рекомендовать для профильного обучения, учебно-исследовательской деятельности при изучении концепций современного естествознания. Компьютерные программы выполнены в популярной среде Borland Pascal, MatLab и Maple и могут служить дидактическим материалом для учебного вычислительного эксперимента.

Сборник задач и упражнений предназначен для учителей и школьников, студентов и магистрантов физико-математического образования.



© А.И. Ходанович, 2009 © Издательство СПбГУКиТ, 2009 © РГПУ им. А.И.Герцена, 2009 История математического моделирования на компьютере Аналитический метод (решение задач по формулам), сыграл важную роль в развитии науки ХVIII-XX вв. и широко применяется в настоящее время. Однако метод все же является ограниченным, поскольку его можно использовать, как правило, в идеализированных ситуациях.

Аналитические задачи обычно разбираются в задачниках по физике и математике. Это нужные задачи, так как они обучают мыслить математическими и физическими категориями, но они далеки от реальности. Никому и никогда, наверное, не придется их решать в жизненных ситуациях, по крайней мере, в учебной форме. Они рафинированы настолько, что могут служить только иллюстрацией закона или правила.

В таких задачах приходится считать зависимости предельно простыми:

движения- равноускоренными, силы- линейно зависящими от отклонений или от скорости, токи- линейно зависящие от напряжения, оптические среды- однородными и т.д.

Когда во второй половине ХХ века появился компьютер, количественное описание явлений вышло на новую ступень. Спектр задач, которые можно решить быстро, не затрачивая особых усилий, резко расширился. Какими бы сложными формулами ни описывались явления, результат выдается компьютером за считанные секунды. Формул для расчета может и вовсе не быть (аналитическое решение невозможно), например, при сложных математических моделях, или при табличном (графическом) задании функций. Это также не представляет сложности для компьютера [8].

Перечислим некоторые типы задач, которые можно решать на компьютере:

• задачи, в которых по одной и той же формуле необходимо провести вычисления многократно, в частности при построении графиков или графических образов математических моделей (например, фракталов в нелинейной динамике);





• задачи, в процессе решения которых возникают уравнения высоких степеней или трансцендентные уравнения, которые легко решаются только численными методами;

• многомерные задачи, где возникает необходимость решения систем уравнений;

• задачи, в которых предлагается найти экстремумы функций, если эти экстремумы невозможно найти аналитически (в том числе задачи оптимизации конструкций и процессов);

• задачи численного интегрирования и дифференцирования сложных функций; вычисление спецфункций;

• статистические задачи, в которых данные заданы в виде массива чисел или графика (например, при планировании эксперимента или математической обработке результатов измерений);

• задачи спектрального анализа и операционного исчисления;

• задачи, приводящие к дифференциальным и интегральным уравнениям.

Методы решения дифференциальных уравнений приведены в курсах математического анализа, однако аналитически решается только ограниченный перечень типов уравнений. В большинстве случаев приходилось упрощать задачи, из которых состоят задачники по физике до компьютерной эпохи.

Еще Ньютоном, Эйлером, Гауссом и другими учеными прошлого были развиты численные методы в дискретной математике, которые позволяют приближенно решить уравнение, вычислить интеграл и другие задачи. В идейном плане эти методы проще традиционной высшей математики. Идея дискретизации заключается в приближенной замене дифференциального уравнения конечно-разностным алгебраическим уравнением. Например, при движении тела в вязкой среде сила зависит от скорости и приближенное уравнение движения имеет традиционный m v F (v ) = школьный вид: Выяснив, как зависит сила от скорости и,.

t задав начальные условия, можно написать закон изменения скорости во времени: v n +1 = v n + F (v n ) t / m, где индекс n номерует моменты времени и t- интервал времени между двумя текущими вычислениями. Данное уравнение (итеративная схема) закладывается как элемент программы в компьютер и циклически решается. В результате получаем массив функции скорости в разные моменты времени, по которому может быть построен график, а также пересчитаны функции ускорения и координаты. Изменяя в программе параметры, можно быстро выяснить, как изменяется характер движения, т.е. осуществить компьютерное моделирование динамического процесса. Учебный вычислительный эксперимент обеспечивает межпредметную интеграцию математики, физики и информатики в рамках образовательных программ.

Следует отметить, что не только сложные научные задачи, но и элементарные учебные требуют численного моделирования на компьютере. Для более опытных учащихся в самостоятельной исследовательской работе рекомендуется пользоваться современными математическими системами MathCAD, MatLAB, MAPLE и др. При организации и проведении вычислительного эксперимента, может оказаться полезным самостоятельное составление программ на одном из языков программирования (BASIC, Pascal, С), а также использование прикладных математических библиотек.

При программировании учебных вычислительных задач преимущества алгоритмических языков программирования почти не обнаруживаются и с одинаковым успехом можно пользоваться любым языком.

Следовать за модой и менять свои привычки не стоит, лучше работать в хорошо усвоенной системе программирования. Не следует забывать, что компьютер- только инструмент. И использовать надо только те возможности, которые необходимы для решения поставленной физической задачи.

При постановке компьютерного эксперимента необходимо придерживаться определенной схемы: формализация вербального описания или математическое моделирование, например, составление дифференциальных уравнений в соответствии с условиями задачи; поиск алгоритма решения; разработка программного обеспечения (программы);

тест программы по принципу соответствия (в предельном случае, при стремлении характерного параметра к нулю, данная «новая» задача переходит в «старую» с известным аналитическим решением; «запуск»

программы (вычисления), интерпретация и анализ полученных результатов.

Вспоминая историю науки, отметим, что в 50-60-х годах XX века началась новая научная революция - достижения физики, математики, информатики и техники открыли перспективы реализации крупнейших проектов - овладение атомной энергией и создание атомного оружия, освоение космического пространства и поиск новых фундаментальных законов природы.

Осуществление проектов потребовало огромных затрат ресурсов, детального анализа возможных путей протекания физических явлений и технологических процессов, тщательного отбора наилучших вариантов постановки дорогостоящих экспериментов. Сложность возникающих задач делала их недоступными для стандартных приемов теоретической и экспериментальной физики, а необходимость решения проблем стимулировала возникновение вычислительной физики как новой методологии научных исследований.

–  –  –

В начале ХХ века внимание многих ученых было привлечено к различным задачам физики твердого тела. Их интересовало, можно ли предсказывать теплоемкость твердых тел на основе простых представлений о движении и взаимодействии отдельных частиц, как в кинетической теории газов. Проблема хаотизации колебаний атомов в нелинейном кристалле (термализация) восходит к работам П. Дебая (1914 г.).

Позднее, в 50-х годах Э. Ферми были инициированы вычислительные эксперименты в физике твердого тела на одной из первых ЭВМ.

Дж. Паста и С. Улам рассчитывали динамику 64 связанных осцилляторов с нелинейными силами взаимодействия. Вместо термализации энергии обнаруживался квазипериодический обмен энергии между нормальными модами или солитонные решения в нелинейной среде. Кроме того, наблюдался парадокс возврата системы к начальному состоянию.

Совокупность изучаемых вопросов численного моделирования стали называть проблемой Ферми- Паста- Улама (ФПУ) [47].

Актуальность изучения вопросов физики нелинейных явлений связана с тем, что идеи, методы и результаты физики открытых систем, в частности, нелинейной динамики, служат фундаментом педагогической и научной деятельности специалистов разного профиля- физиков и ма-тематиков, химиков и биологов, экономистов и социологов.

Открытие хаотических движений в сравнительно простых детерминированных нелинейных динамических системах различной природы (физических, химических, биологических) без преувеличения можно считать одной из крупнейших научных сенсаций современности.

Еще сравнительно недавно казалось, что все явления окружающего мира можно четко разделить на детерминированные и случайные.

Представление о детерминированности поведения динамических систем опирались на теорему Коши о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений. Эта теорема, казалось бы, полностью исключала возможность случайных процессов. В классической физике случайность мыслилась как нечто привносимое извне: хаотические движения детерминированных систем рассматривались как результат случайных внешних воздействий.

С представлениями о невозможности случайных движений детерминированных систем связаны трудности обоснования классической статистической механики. В рамках классических представлений, органично включающих в себя механический детерминизм, эти трудности по сути дела не преодолевались.

Вероятностный характер законов классической статистической механики, где случайность была налицо, принято было списывать на очень большое число частиц и степеней свободы и на неполноту данных. Такая точка зрения со временем стала привычной и позволяла как-то примириться с этим противоречием, но, тем не менее, оставляла чувство неудовлетворенности. Поэтому неопровержимое установление возможности, хаотического, непредсказуемого поведения простых динамических систем решающим образом затрагивает наши фундаментальные мировоззренческие представления.

После классических работ А. Пуанкаре можно выделить два этапа развития динамической теории диссипативных систем. Первый связан с возникновением радиотехники, с необходимостью развития для этих целей теории автоколебаний. Замечательные физические и математические результаты в этой области принадлежат Ван дер Полю, Л.И. Мандельштаму, А.А. Андронову, А.А.Витту, Л.С.Понтрягину, Н.М.Крылову, Н.С. Крылову, Н.Н.Боголюбову и многим другим.

Второй этап развития динамической теории стимулировался проблемами теории турбулентности и трудностями решения задач о долгосрочном прогнозе погоды. Фактическим его началом явилась работа Эдварда Лоренца (1963 г.). Значение исследований было понято лишь после появления статьи математиков Д. Рюэля и Ф. Такенса в 1971 году.

В ней был введен новый математический образ сложного движения в нелинейных диссипативных динамических системах_ странный аттрактор.

За рубежом в 1962 году была опубликована первая коллективная монография (первый том) из серии «Методы вычислительной физики» Methods in Computational Physics» и к 1971 году вышло в свет десять томов, посвященных различным разделам физики: квантовой механике и гидродинамике, астрофизике и физике твердого тела, физике плазмы и др. В 1965 году примерно в одно и то же время в Америке и Европе были опубликованы две обобщающие статьи: одна - Ф. Харлоу и Дж.

Фромма в «Scientific American», другая - В. Макано во французском журнале «La Houille Blanche», предназначенные специально для того, чтобы привлечь внимание широкой научной общественности к возможностям вычислительной физики. В этих статьях впервые были четко сформулированы понятия численного моделирования и численного эксперимента (применительно к гидродинамике). В 70-х годах К.Вильсон применяет дискретные вычислительные методы для исследования калибровочных полей в задачах квантовой хромодинамики. Произошел беспрецедентный случай- фундаментальная физическая теория переформулирована для компьютерного эксперимента [47].

Современная наука_ это не только колыбель ПК, но и наиболее развитая область их применения. Для ученых компьютеры стали незаменимым инструментом познания и прогноза сложнейших явлений.

Модельный характер всех наших знаний приводит к сближению физического и математического компонентов развиваемых моделей. Характерной чертой научной деятельности является исключительная трудность, а порой и невозможность отделения физической и математической моделей при рассмотрении сложных реальных процессов и систем.

Таким образом, в науке сформировалась вычислительная (компьютерная) физика как современная методология научного исследования, называемая математическим моделированием реальных природных явлений, основанная на развитых теоретико-экспериментальных подходах в информационном цикле вычислительного эксперимента.

«День рождения» вычислительного эксперимента точно не установлен. Первые работы «новым методом» («третьим методом») приходятся на 50-е гг. ХХ века. А вот время, когда появились серьезные результаты, фиксируются вполне официально_ 1968 г. Госкомитет по делам открытий и изобретений засвидетельствовал открытие явления в моделировании работы МГД-генератора (существование температурного или токового слоя_ Т-слоя в нелинейной плазме), которые… никто не наблюдал (А.Н. Тихонов, А.А. Самарский и др.). Дальнейшие усилия были направлены на подтверждение результатов компьютерного моделирования. Знаменательный факт_ вычислительный эксперимент предшествовал натурному, определяя кратчайшие пути к успеху [52].

–  –  –

Слайд 1. Иллюстрация сходимости геометрической прогрессии в кинематике 1.

3 «Золотое сечение» и числа Фибоначчи Затрагивая межпредметные связи естествознания, геометрии и математического анализа, вспомним слова И.Кеплера: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении…Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень».

Пропорция в искусстве также определяет соотношение величин элементов художественного произведения либо соотношение отдельных элементов и всего произведения в целом. В эстетике пропорция, как и симметрия, является составным элементом категории меры и выражает закономерность структуры эстетического образа [9].

В пропорции художники видели объективную основу красоты, по крайней мере, формы прекрасного. Не все художники желали рассматривать искусство лишь как плод безудержной фантазии и чистой интуиции. И те из них, кто пытался постигнуть объективные законы прекрасного, находили, прежде всего, в пропорции.

Мы уже отмечали, что симметрия воспринимается слишком статично, скованно и только единство симметрии и асимметрии создает подлинную гармонию красоты. Так вот, в качестве меры соотношения симметричного и асимметричного часто и выступает пропорция.

Возьмем простой пример: деление отрезка прямой. Если отрезок разделить пополам, зеркально-симметрично, то такое деление выглядит уравновешенным, мертвым. Если же точку деления взять слишком близко к одному из концов отрезка, то новая конфигурация будет чересчур неуравновешенной и беспокойной. Только некоторая «золотая середина», которая в данном случае отнюдь не является геометрической серединой, обеспечит нам желаемое единство симметрии и асимметрии.

Такое «радующее глаз» деление отрезка, по преданию, было известно еще Пифагору и называлось им золотой пропорцией. Впрочем, скорее всего золотая пропорция была заимствована Пифагором у древних египтян, которые знали ее задолго до Пифагора, и которых он посетил в своих странствиях по свету. Золотая пропорция определяется делением отрезка на две неравные части, при котором меньшая из них так относится к большей, как последняя ко всей длине отрезка [12].

С тех пор золотая пропорция становится общепризнанным каноном искусства. Художник и инженер Леонардо да Винчи, изучавший и восхвалявший золотую пропорцию на протяжении всей своей жизни, называет ее «Sectio aurea» (золотое сечение), а математик и астроном Иоганн Кеплер, обнаруживший золотую пропорцию в ботанике, говорит о ней как о бесценном сокровище, как об одном из двух сокровищ геометрии и именует ее «Sectio divina» (божественное сечение). Название Леонардо да Винчи сохранилось и сегодня.

Геометрические свойства золотого сечения в числе других были с восторгом описаны в 1509 г. в книге монаха ордена францисканцев Луки Пачоли (ок. 1445 - ок. 1514 гг.) «О божественной пропорции». Пачоли приводит лишь тринадцать свойств золотого сечения (дабы почтить двенадцать апостолов и их учителя Христа), отмечая, что для перечисления всех свойств золотого сечения не хватило бы чернил и бумаги.

Каждому свойству золотого сечения Пачоли ставит особый эпитет, говоря о его третьем исключительном свойстве,… о его четвертом невыразимом свойстве,... о его десятом возвышенном свойстве,... о его двенадцатом почти сверхъестественном свойстве...

Любопытно, что хорошо известная каждому современному школьнику задача о трубах, наполняющих бассейн, описана в книге Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», изданной в 1494 г.

Рассмотрим теперь ряд золотого сечения 1, Ф, Ф 2, Ф 3,..., Ф n,...

, Ф n = Ф n2 + Ф n1 (n 2) причем коэффициенты при Ф, образуют последовательность натуральных чисел: {U k } = 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... ; (1) Последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, называются рекуррентными или возвратными.

Последовательность, описанная выше, имеет древнюю историю.

Она впервые была описана в 1202 г. в «Книге об абаке» итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу - Фибоначчи (сын доброй природы). С тех пор последовательность (1) называется рядом Фибоначчи, а ее члены - числами Фибоначчи. «Книга об абаке» Фибоначчи была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла заметную роль в развитии математики в Европе. Значительную часть этого трактата составляли задачи, одна из которых гласила: сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

–  –  –

1 = 1.

2 = 1.414213562 1 + 2 = 1.553773974 1 + 1 + 2 = 1.598053182 1+ 1 + 1 + 2 = 1.611847754 1+ 1+ 1 + 1 + 2 = 1.616121206 Слайд 3. «Золотое сечение» в аналитических вычислениях на ПК

–  –  –

restart: solve(g*R^2/(R+h)^2=g*(1-h/R),h); g:=10: R:=6400:

plot({g*R^2/(R+h)^2,g*(1-h/R)},h=0..R,color=black);

with(plots):

plot(g*R^2/(R+h)^2-g*(1-h/R),h=0..R,color=black);

–  –  –

В соответствии со вторым законом Ньютона дифференциальное уравнение движения: m&&(t ) = Fx. Сумма проекций x сил в правой части может быть постоянной, а может зависеть от координаты, скорости, времени, параметров. Это дифференциальное уравнение, которое аналитически легко решается только в простейших случаях. Численный приближенный метод основан на замене дифференциальных уравнений конечно-разностными алгебраическими уравнениями с заданной точностью. Наиболее распространенными до сих пор являются методы Рунге-Кутты реализованные в стандартных процедурах современных математических пакетов.

В 1885 г. К. Рунге высказал основную идею метода численного решения систем дифференциальных уравнений, которую в 1901 г. развил и усовершенствовал В. Кутта. На этой основе была разработана серия вычислительных методов различной степени точности, ориентированных на случай дифференциальных систем [47].

Следует обратить внимание на то, что, в зависимости от содержания, задачи могут решаться в разных системах единиц, а также в безразмерных величинах.

2.1 Равенство тяжелой и инертной массы в свободном падении Масса является физической величиной, характеризующая взаимодействие тел, определяет инертные и гравитационные свойства. Под инертностью материальных тел понимается их способность сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения. Инертная масса является мерой этой способности, т.е. мерой инертности тела.

Она определяется как коэффициент пропорциональности между силой и ускорением в уравнении движения классической механики: F = m (i ) a.

Инертная масса является также коэффициентом пропорциональности между импульсом (количеством движения) тела и его скоростью:

p = m (i ) v.

Под гравитационным свойством материальных тел понимается их способность создавать в окружающем пространстве гравитационное поле и испытывать воздействие полей тяготения, создаваемых другими материальными телами. В этом отношении они аналогичны электрически заряженным телам, создающим вокруг себя электрическое поле и испытывающим воздействие электрических полей, создаваемых другими заряженными телами. Гравитационная масса выступает как гравитационный заряд. Согласно закону всемирного тяготения сила гравитационного взаимодействия точечных тел пропорциональна произведению их гравитационных масс m1(g) и m2(g) и обратно пропорциональна квадрату m2 (g) (g) m1 расстояния между ними Fg = G.

r2 Инерция тел и их способность возбуждать в окружающем пространстве гравитационные поля не могут априори (до опыта) рассматриваться как взаимосвязанные и тем более тождественные свойства тел. Поэтому возникает вопрос, какова взаимосвязь между инертной и гравитационной массами тел? Равны эти массы или пропорциональны друг к другу- эти утверждения не из каких теоретических положений механики не вытекают. Этот вопрос может быть решен только опытным путем.

restart: with(plots): with(plottools):

–  –  –

Program g;

Uses crt,Dos;

Var x,y,BN,h,m,s,s100,s100n: word;

hourstart,minutestart,secondstart,sec100start: word;

hourend,minuteend,secondend,sec100end,Color,Color2,mx,my: word;

timestart,timeend,timedifference,T,g,hh,dh,dt,dg : real;

R: Registers;

Procedure MouseRead(var x,y,bMask: word);

begin R.AX:=3; Intr($33,R); x:=R.CX; y:=R.DX; bMask:=R.BX end;

Begin ClrScr; Write('start');

repeat MouseRead(x,y,BN) ;

if BN and 1 0 then Gettime(hourstart,minutestart,secondstart,sec100start);

until BN and 2 0 ; GetTime(hourend,minuteend,secondend,sec100end);

ClrScr;

Timestart:=hourstart*3600*100+minutestart*60*100+secondstart*100+sec100s tart;

Timeend:=hourend*3600*100+minuteend*60*100+secondend*100+sec100end;

Timedifference:=timeend-timestart; T:=Timedifference/100;

writeln('time= ', T:5:2); hh:=2.13; dh:=0.01; t:=0.66;

dt:=0.01; g:=(2*hh)/sqr(T); GotoXY(25,20); TextColor(14);

dg:=2*dh/sqr(t)+2*hh*dt/(t*t*t);

Writeln(' g= ',g:5:1,' ',' dg= ',dg:5:1) ;readln; end.

Слайд 7. Pascal- программа измерения ускорения свободного падения Рассмотрим свободное падение тел в однородном поле тяготения Земли.

Так как тела падают под действием силы тяжести, то по второму закону Ньютона m(i)a=m(g)g. Тогда ускорение, с которым тела падают на m(g) Землю: a = (i ) g.

m Опытным путем можно установить закон, согласно которому все тела свободно падают на Землю с одинаковым ускорением а, равным g=9,8 м/с2, из чего следует, что инертная и гравитационная массы равны. Кроме того, используя компьютер можно измерить время и ускорение свободного падения, а также проиллюстрировать исторический закон нечетных чисел Галилея.

2.2 Реальная динамика тела в среде При малых значениях скорости сила сопротивления среды пропорциональна скорости, при больших- начинает сильнее зависеть от нее. Восстановление силы сопротивления динамической системы является сложной экспериментальной задачей и, обычно, в моделировании используется степенное разложение при условии, что изменение знака проекции скорости меняет знак проекции силы, т.е. F=Av+B|v|v+Cv3+...

При решении задач предпочтительнее разложение в ряд по нечетным степеням аргумента, для нечетных функций, причем нелинейные задачи, как правило, не имеют аналитического решения. Заметим, что в широком диапазоне чисел Рейнольдса ~102- 106 сила сопротивления является квадратичной функцией скорости F = C S v / 2. Здесь С~0.5 для шара, - плотность среды, S- площадь поперечного сечения тела.

–  –  –

Рассмотрим простой одномерный случай падения тела в вязкой среде вдоль оси X, без начальной скорости (рис. 2 а). Начало координат поместим в точку О, из которой начинается движение тела. На тело действуют две силы: сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха F=-kv.

x(t):= int(g*m/k-exp(-k*t/m)*g*m/k,t)+C;

restart: with(plots): ode := {m*diff(v(t),t)= m*gk*v(t)}; dsolve( {ode, v(0)=0}, v(t));

v:=(t)-g*m/k-exp(-k*t/m)*g*m/k: x:=(t)g*m*t/k+g*m^2*exp(-k*t/m)/(k^2)-g*m^2/k^2:

g:=10: m:=0.01: k:=0.1:plot({v(t),x(t)},t=0..1);

<

–  –  –

2.4 Баллистическая кривая Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью. Данные ввести самостоятельно. Построить траекторию, если сила сопротивления F=0.001v2. Сравнить ее с параболической траекторией, получающейся без учета сопротивления воздуха. Показать на экране траектории при разных параметрах задачи.

–  –  –

2.5 Модели космической динамики Пусть скорость тела v перпендикулярна к направлению на центр Луны (а=0). Прицельное расстояние р=5000 км. Как будет двигаться тело при скоростях 500, 1000, 1500 м/с ? Радиус Луны равен 1700 км.

–  –  –

ax Fx = F ;

r p y Fy = F r Задавая различные значения величин р,а,v, исследуйте вопрос о движении тела вблизи Луны или Земли. Постройте траектории движения и определите космические скорости.

Исследуйте влияние сопротивления воздуха на движение спутника, вращающегося вокруг Земли. Предположите, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Как меняются со временем полная энергия и скорость спутника ?

2.6 Посадка «Гюйгенса» на Титан Уникальный эксперимент с посадкой зонда «Гюйгенс» на поверхность загадочного спутника Сатурна стал кульминационным моментом всей беспрецедентной для современной космонавтики программы исследований Сатурна и его системы исследовательской станцией «Кассини-Гюйгенс» (2005 г.) Зонд вошел в атмосферу планеты. В это время он находился на расстоянии около 1270 км от поверхности Титана. Скорость летательного аппарата в начальный момент времени составляла примерно 6000 м/с. После четырехминутного снижения на высоте ~180 км и на скорости 400 м/с раскрылся первый из трех парашютов необходимых для снижения скорости зонда до расчетной, а также для приведения в действие механизмов отстрела защитных поверхностей, предохранявших зонд и научную аппаратуру от перегрева.

–  –  –

На протяжении всего спуска в атмосфере, который, по оценкам ученых, должен был продолжаться примерно два часа, «Гюйгенс» передавал научную информацию на борт «Кассини», который затем должен был ретранслировать ее на Землю.

По данным источников информации рассчитать траекторию зонда за первые 4 мин. с момента вхождения летательного аппарата в атмосферу Титана до раскрытия первого парашюта.

ERROR: ioerror OFFENDING COMMAND: image

Похожие работы:

«2 Об авторе Ратничкина Марина Николаевна, учитель русского языка и литературы МБОУ Кочетовской средней общеобразовательной школы Мичуринского района • Победитель конкурса лучших учителей образовательных учреждений на получение денежного поощрения в рамках ПНПО;• участник регионального конкурса "Учитель года – 2008",...»

«Бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей города Омска "Дом детского творчества Октябрьского административного округа"ПРИНЯТО УТВЕРЖДАЮ Педагогическим Советом Директор БОУ ДОД От "07" сентяб...»

«Пояснительная записка Программа элективного курса предназначена для учащихся 11 классов и рассчитана на 68 часов (2 часа в неделю). Математика практически единственный учебный предмет, в котором задачи используются и как цель, и как средство обучения, а иногда и как п...»

«Паспорт дополнительной общеобразовательной программы Полное наименование Дополнительная общеобразовательная программы программа по узелковому плетению и вязанию "Волшебная нить творчества" Руководитель Заместитель директора по учебной работе МБОУ ДОД Дворец детского (юношеского) творчества Лебедькова Е.А. Рецензент Р...»

«Н.Е.Целищев Л.А.Чашников УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС "Работа с ИАС "АВЕРС: Электронный Классный Журнал" " Москва 2011 Учебно-методический комплекс "Работа с ИАС "Аверс: Электронный Классный Журнал" УДК 374.72 ББК 74.04 Ц 54 Н.Е. Целищев, директор МОУ СОШ с УИОП №28 г.Киров, Заслуженный учитель РФ, координатор внедрения программ ИВЦ "Аверс"....»

«Седых Дарья Сергеевна, естественно – технологический факультет Челябинского государственного педагогического университета Зазеркальная реальность Жизнь в стенах Челябинского государственного педагогического универс...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КЫЗЫЛСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА "Разработка коллекции и проектно-конструкторской документации на изготовление женского д...»

«Любчик Татьяна Владимировна учитель английского языка Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы средняя общеобразовательная школа № 2088 г. Москва МЕЖКУЛЬТУРНЫЕ АСПЕКТЫ ДЕЛОВОЙ КОММУНИКАЦИИ Деловая комму...»

«Этимологический словарь фамилий Составитель: Здорова Ирина г. Нижневартовск 2015г. Предисловие Словарь охватывает не все фамилии, а только некоторые фамилии учеников, учителей и работников нашей ш...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.